硬币在人类历史上曾经是非常重要的。 中国是最早使用硬币的地区之一， 早在殷商的晚期(大约公元前 11 世纪)， 人们就开始使用硬币了。 这种硬币是用青铜仿照天然贝壳的形状铸造的 (图 1.1)， 所以又叫铜贝， 它们显然是从更早时期以天然贝壳作为钱币的方式发展而来的。 中国的古钱采用很多非常有趣的形状， 比如刀形的和耒形的。 耒是古代用来挖地的铲子。 到了战国时期， 秦国和魏国开始使用环形硬币。 再后来秦始皇统一了中国， 开始统一使用圆形方孔的硬币。 在古希腊， 人们大约从公元前 7 世纪开始使用接近圆形的金币和银币。 扁圆形逐渐成为最主要的硬币形状。 在中世纪的欧洲， 有钱人的标志是他们随身携带的钱袋， 里面沉甸甸地装满了硬币。
硬币不仅仅被用于购物。 以投掷硬币来决定输赢是最古老的游戏之一。 通常是两个人玩， 每人事先给出自己的猜测， 是正面还是反面， 然后由一个人把硬币丢到空中。 硬币在空中必须是翻转的， 以增加不确定性。 硬币落下的时候， 或者用手抓住， 或者让它落到地上， 等到停止滚动以后， 检查是正面还是反面。 猜中者为赢。 但是， 只说 “我赢了”不过瘾， 于是就押赌注。 古罗马人把扔硬币的游戏叫做 “船或头”， 因为古罗马硬币通常一面是一艘大船， 一面是皇帝的头像。 在古代英国， 硬币通常一面是十字架， 另一面是国王的头像。 那时候， 英国人把这个游戏叫做 “十字架和背面”。 美国
图 1.1 东周时期的青铜贝形钱币。 最著名的铜贝应该是出土于山西省保德县林遮峪村的商代铜贝。 而保德铜贝又是仿照更古老的贝壳货币的形状铸造的。
故事外的故事
从 18 世纪起到 20 世纪初， 决斗是欧美绅士们解决争端的普遍方式。 这种决斗是违法的， 所以一般都在天亮前举行。 如果由于某种原因决斗不能在日出之前进行， 法国的规定是双方靠扔硬币来选择背对阳光的方向。 这对瞄准射击来讲当然是比较有利的位置。 1804 年 7 月 11 日凌晨， 前美国财政部长汉密尔顿 (Alexander Hamilton， 1755-1804) 与时任副总统伯尔 (Aaron Burr， 1756-1836) 在哈德逊河畔离曼哈顿不远的一个峭壁下举行决斗， 汉密尔顿中枪， 并于次日死亡。
1837 年 1 月 27 日， 俄国著名诗人普希金 (Alexander Pushkin， 1799- 1837) 在黑河河畔与旅居俄国的法国人丹特斯男爵 (Georges d’Anthes， 1812-1895) 决斗， 双方均受了伤， 普希金因伤重于两天后死亡。 的说法， Heads and Tails， 就是正面和反面的意思。
直到今天， 在一场球赛开始之前， 还是用扔硬币来决定哪一方先开球， 或者选择场地。 你可能想不到吧， 有时候科研文献的作者顺序也是靠扔硬币来决定的。 随着科学研究的日益复杂化， 合作变得越来越重要， 科研文献的作者名单也越来越长。 为众多的合作者确定合理的作者顺序是一件很头疼的事， 因为合作者的贡献在很多情况下无法定量确定。 于是我们有时会在科学杂志的文章末尾看到类似这样的脚注:“作者顺序是根据扔掷硬币的结果确定的。 ”
还有呢? 许多人都听过汪峰的《硬币》吧?
你有没有看见手上那条单纯的命运线?
你有没有听见自己被抛弃后的呼喊?
你有没有感到也许永远只能视而不见?
你有没有扔过一枚硬币选择正反面?
我们都有感到孤立无助、无可奈何的时候， 命运似乎掌握在一个看不见摸不着却又无所不在、无所不知的神秘力量手中。 遇到这样的情况， 在需要做决定的时候， 我们感到无所适从。 怎么办呢?
现代心理学的开创者弗洛伊德 (Sigmund Freud， 1856-1939) 建议人们扔一枚硬币。 为什么呢? 他说: “我并不是说你应该盲目地遵从硬币的结果。 我只是想让你注意硬币给出的结果的指向， 然后询问自己: 我是高兴呢， 还是失望? 这可以帮助你捕捉自己内心深处的感觉和期望。 由此出发， 你就可以朝着正确方向做出决定。 ”
为什么扔硬币呢? 因为硬币有两面， 扔出一枚迅速旋转的硬币， 落到地面或捉到手里时， 结果只有两个可能， 要么正面， 要么反面。 直觉告诉我们， 出现正面和反面的机会应该是相同的， 一半对一半。
但是， 是什么原因使得硬币的两面出现的机会相同? 故意造假的情况我们不去考虑， 即使是规规矩矩地制币， 正面和反面出现的机会就一定是一样的吗?
法国著名博物学家布封伯爵 (Georges Louis Leclerc， Comte de Buffon， 1707-1788) 可能是第一位亲手检验这个直觉的人。 布封出生在一个富有而富有影响力的家庭， 是个名副其实的富二代。 应该说， 一般人能想象到的荣华富贵他都享受到了， 可是他最大的爱好却是读书和写作。 写作对他来说跟参加宫廷宴会一样令人兴奋， 一丝一毫不能懈怠。 每天早上， 在开始写作之前， 他一定要穿上最讲究的绅士盛装。 长长的假发编满了精致的卷花， 身上的丝绸外套是当时法国最时髦的， 里面的衬衫绣满花边， 领子高高立起， 一直顶住下巴。 这是当时法国上流社会最为时尚的男人打扮。 他觉得只有如此， 写作的灵感才能源源不断地涌出。 他就这样坐在书桌前， 写啊写啊， 从早写到晚， 写了 40 年， 写出了洋洋洒洒整整 36 卷的巨著《自然史》， 还有许多难以计数的小文章。
《自然史》是一套百科全书， 它涉及那个时代所谓“自然科学”的全部内容:生物、化学、物理、材料科学、地质学、工程技术， 等等。 在这套鸿篇巨著里， 布封首次提出一种假说， 认为地球上的动物和植物是通过自然演变而成为现在的样子的。 这个假说对达尔文的进化论有深刻的影响。
身穿盛装， 正襟危坐的布封把一枚法国硬币扔了 4040 次， 其中 2048 次是正面， 占总数的 50.69%。 也就是说， 对布封手里的硬币来说， 出现正面的机会比反面稍稍多一点。
一天到晚忙于写书的布封为什么对扔硬币这么感兴趣呢?
大约 150 年后， 又有一位学者坐在桌前扔硬币了。
故事外的故事
1903 年 12 月 14 日， 著名的莱特兄弟 (Wilbur Wright， 1867-1912; Orville Wright， 1871-1948) 在北卡罗来纳州的小鹰镇北边6公里的沙丘上首次试飞他们经过多年才研制成功的飞行者一号。 由于飞行结果莫测， 兄弟俩采用扔硬币的方式来决定谁去试飞。 结果哥哥威尔伯 (Wilbur) 赢得了机会。 可是由于天气不好， 飞行者一号仅仅飞行了三秒钟就栽到地面上。 12 月17日， 他们再次试飞。 这一回， 弟弟奥维尔 (Orville) 赢得了机会。 在时速 43 公里的刺骨寒风中， 飞行者一号终于成功起飞。 奥维尔在空中仅飞了 12 秒， 以每小时 10.9 公里的速度航行了 36.5 米。 这个速度远不如百米赛跑的速度， 但却是一个历史性的时刻。 从此， 人类进入航空时代。 调查最为2002中其， 为0001年得销3 2部份的复制合并的面条给出， 如果他全国建筑物流报道
这位英国学者名叫皮尔逊 (Karl Pearson， 1857-1936)， 当时在欧洲非常有名。 他在 20 多岁的时候 (1880 年前后)就成为历史学和德国文化专家， 写了很多关于哥德、德国宗教和戏剧方面的专著。 剑桥大学 (Cambridge University) 聘请他为德国学教授， 可他又同时能够为数学系代课。 不久， 他干脆跑到伦敦大学学院 (University College London) 去， 并成为那里应用数学与力学系的系主任。
皮尔逊也是著作等身的大家。 他一共写了将近 40 本专著， 内容从宗教剧到社会主义， 从物理到进化论， 从肺结核治愈率到白化病， 从酗酒后遗症到优生学， 影响非常广泛。 1902 年， 23 岁的爱因斯坦 (Albert Einstein， 1879-1955) 召集几个朋友在他的公寓里定期讨论物理和哲学问题， 并给他的学习小组取名为奥林匹亚学院。 他给大家推荐的第一本书就是皮尔逊的《科学的法则》 (The Grammar of Science)。 在这本书里， 皮尔逊宣称自然规律的不可逆性只是一个相对的概念。 如果一个观测者丝毫不差地按照光速运动， 那么他看到的将是永恒， 世界的一切将毫无运动的迹象。 他还揣测说， 假如观测者能以超过光速的速度运动， 那么世界的运动就都是向后退的， 如同把电影胶片从结尾向开头演放。 他甚至还讨论了反物质、第四维度和时间的褶曲。 这些讨论当然都只是纯粹的想象， 但它们对爱因斯坦的影响十分巨大而深远。
整天忙于写作的皮尔逊竟然把一枚英国硬币扔了 24000 次， 其中 12012 次是正面， 占总数的 50.05%。
我们不免再问一句， 为什么这些整天忙于思索和研究的学者要花大量的时间来研究扔硬币这个看上去挺无聊的事情呢?
在数学上， 我们用概率的概念来描述一个事件出现的可能性。 概率是一个介于 0 和 1 之间的实数。 扔硬币属于最简单的概率问题， 因为它只有两种可能。 在扔起一枚硬币之前， 我们无法预测即将得到的是正面还是反面。 我们把这种现象叫做随机过程。 硬币出现正面和反面的可能性是一样的， 也就是说正面和反面的机会各有 50%。 在这种情况下， 我们就说出现正反面的概率相等， 都是 0.5。
在古代， 人们把这类无法预测的可能性归结于天意， 觉得猜对的一方有神明相助。 因此， 在不值得用武力解决争端的时候， 扔硬币是一种双方比较能够接受的方式。 也正因为它的不确定性， 扔硬币成为最古老的游戏之一。 后来学者们扔硬币， 是因为它是最简单的概率问题。 几个世纪的时间里， 人们从研究这个问题入手， 逐渐完善了概率和统计的理论。
布封和皮尔逊实验的结果里面有不少细节， 我们后面还会再讨论， 不过从实用的角度来说， 在扔出一枚硬币之前， 对于即将出现的结果， 正面和反面的机会应该是均等的。 这种随机性则被很 “公平地” 用来处理一些问题。 比如， 在一场球赛开始之前， 通常就用扔硬币来决定哪一方先开球。
那么， 怎样才能正确地评估一枚硬币是 “公正” 的呢?
这就需要概率和统计学的知识了。
二次大战期间， 另一位英国统计学家克里奇 (John Edmund Kerrich， 1903-1985) 又重复了扔硬币的实验。 克里奇的实验是在无可奈何的情况下进行的。 他本来是一名大学的数学讲师。 1940 年 4 月， 他和妻子到丹麦首都哥本哈根去拜访岳父岳母， 正好遇到纳粹德国入侵。 作为敌国英国的公民， 他被德国人拘留， 关押在丹麦中部维堡地区的一座小城的监狱里。 看守这里的是依附纳粹的丹麦部队， 生活环境比纳粹集中营宽松多了。 可是长期被关押， 不知何时是尽头， 心理上仍然是很艰难的。 为了消磨时间， 克里奇找到一名难友， 两人一起进行概率和统计学实验。 他们把一枚丹麦克朗
1968 年， 在欧洲杯足球半决赛当中意大利队与苏联队在加时赛后以零比零踢成平局。 于是胜负由掷硬币来决定， 结果判意大利队为胜。 意大利队后来成为那一年的欧洲足球冠军。 这个结果当然令许多人不满意。 后来国际足联才改为用点球来决定胜负。 扔了 10000 次， 并作了详细记录。 他们发现， 正面出现了 5067 次， 占 50.67%。 这个结果同布封的结果非常相近。
1945 年， 二次大战结束不久， 克里奇把在押期间实验的结果写成一本书《概率理论的实验引论》(An Experimental Introduction to the Theory of Probability)， 讨论统计学理论在实验中的应用， 其中投硬币的结果占了相当大的篇幅。 图 1.2 是这本书中的第一张表格， 它列出连续 2000 次投掷那枚克朗的结果。 为了读者阅读方便， 我们把图 1.2 中的前 100 个投掷结果列在表 1.1 中。
怎样才能正确地评估一枚硬币是 “公正” 的呢? 直觉告诉我们， 投的次数越多， 最终的平均概率值就越接近于一个稳定值。 如果硬币是 “公正” 的， 那么这个稳定值就是 0.5 ; 如果硬币是被人做了手脚的， 那么这个稳定值就明显大于或小于 0.5。
图 1.2 克里奇在书中记载的投掷丹麦克朗前 2000 次的实验结果。 1 代表硬币的正面， 0 代表反面。
表 1.1 克里奇硬币实验的前 100 投硬币出现正面 (1) 和反面 (0) 的结果
| 编号 | 结果 | 编号 | 结果 | 编号 | 结果 | 编号 | 结果 | 编号 | 结果 |
| 1 | 0 | 21 | 1 | 41 | 1 | 61 | 0 | 81 | 0 |
| 2 | 0 | 22 | 1 | 42 | 0 | 62 | 1 | 82 | 1 |
| 3 | 0 | 23 | 0 | 43 | 0 | 63 | 0 | 83 | 0 |
| 4 | 1 | 24 | 1 | 44 | 0 | 64 | 0 | 84 | 0 |
| 5 | 1 | 25 | 0 | 45 | 0 | 65 | 0 | 85 | 0 |
| 6 | 1 | 26 | 1 | 46 | 0 | 66 | 0 | 86 | 0 |
| 7 | 0 | 27 | 1 | 47 | 1 | 67 | 1 | 87 | 1 |
| 8 | 1 | 28 | 1 | 48 | 1 | 68 | 0 | 88 | 0 |
| 9 | 0 | 29 | 1 | 49 | 1 | 69 | 0 | 89 | 0 |
| 10 | 0 | 30 | 0 | 50 | 0 | 70 | 1 | 90 | 1 |
| 11 | 1 | 31 | 0 | 51 | 0 | 71 | 1 | 91 | 1 |
| 12 | 1 | 32 | 0 | 52 | 0 | 72 | 0 | 92 | 0 |
| 13 | 1 | 33 | 1 | 53 | 1 | 73 | 0 | 93 | 0 |
| 14 | 1 | 34 | 0 | 54 | 0 | 74 | 0 | 94 | 0 |
| 15 | 1 | 35 | 0 | 55 | 1 | 75 | 1 | 95 | 1 |
| 16 | 0 | 36 | 1 | 56 | 0 | 76 | 0 | 96 | 0 |
| 17 | 1 | 37 | 1 | 57 | 1 | 77 | 0 | 97 | 0 |
| 18 | 0 | 38 | 1 | 58 | 0 | 78 | 0 | 98 | 0 |
| 19 | 0 | 39 | 0 | 59 | 1 | 79 | 0 | 99 | 0 |
| 20 | 0 | 40 | 0 | 60 | 0 | 80 | 1 | 100 | 1 |
克里奇的数据使我们可以仔细研究投掷硬币的过程。 首先让我们看看， 在他的实验里， 出现正面的比例是如何随着投币次数来变化的。 我们把出现正面 (也就是数值为 1) 的情况按照投币次数的编号累计起来， 再除以累计次数， 就得到在某个累计次数时出现正面的平均比值。 比如， 从图 1.2 我们看到， 前三次的结果都是 0， 所以出现 1 的平均比值都是 0。 第四次出现了 1， 那么投到第四次时出现正面的累计平均比值是 。
图 1.3 显示， 对于图 1.2 给出的实验数据， 出现正面的平均比值并不是平滑或者单向地趋向于最终的 0.5067。 这个比值在第 15 次时冲到 0.6， 可到了第 94 次时又落到
图 1.3 克里奇投币实验的前 100 个结果。 我们看到， 出现正面的累计比值是“震荡”式的， 它并不随着投币次数的增加而单向地趋向于理想值 0.5。
图 1.4 克里奇实验连续 2000 次投掷硬币出现正面的结果。
0.4255。 如果我们把 2000 个数据点都拿来计算累计平均值， 我们就得到图 1.4 所示的结果。 我们看到， 累计平均比值随着投币次数的增加呈波动状变化， 不过波动的幅度越来越小， 逐渐趋向于 0.5。
那么， 需要投掷多少次才能有把握地评估一枚硬币是否 “公正” 呢？图 1.4 似乎是说， 要投 1000 次以上。 可是， 图 1.4 的结果可靠吗?
现在， 让我们设想身着皇家晚宴盛装的布封伯爵坐在铺着雪白桌布的镶金雕银的大桌子面前， 手里握着一枚金币。 他把旋转的金币抛到空中一米左右的高度， 眼盯着它落到桌面上。 金币停稳之后， 他叫道:“正面!” 然后用一只鹅毛笔把结果记录到一张巨大的白纸上面。 我们假定布封用阿拉伯数字 1 代表正面， 0 代表反面。
他又扔了一次。 “正面!”
白纸上又出现了一个1。
第三次。 “正面!”
布封的脸上开始出现惊奇的表情。
第四次。 “又是正面！多么的不可思议啊!”他大声叫道。
为什么呢?
我们前面说过， 每投一次， 硬币出现正反面的概率都是一样的， 都是 1/2。 每一次在布封扔出手里的金币之后， 他都不能预测将要出现的是哪一面。 那么为什么连续出现四个正面会让他惊讶呢? 下一投一定会是反面吗?
首先让我们看看， 连掷四次硬币会有几种可能性。 还是用 1 代表正面， 0 代表反面， 我们把各种情况都考虑进去， 一共 16 种:
1111， 1110， 1101， 1011， 0111， 1100， 0011， 1010， 0101， 0110， 1001， 1000， 0100， 0010， 0001， 0000。
由于每一次 1 和 0 的出现都是随机的， 那么这 16 种情况出现的概率就都是等同的。 所以， 连续投掷硬币四次， 出现 1111 的概率是 。
连续掷五次硬币， 出现 11111 的概率是多少?
我们可以像上面连掷四次硬币的情况那样， 把所有的可能性都列出来，
故事外的故事
2010 年前后， 伯克利大学教授阿尔多斯 (David Aldous) 请两位本科生在课余进行扔硬币的研究， 结果每人扔了两万次。 按照他的估计， 每人每天扔一个小时， 恰恰是一个学期的工作。 其中一个学生发现正面占 50.11%， 另一个学生发现反面占50.07%。 人民的所有史人们国家住必要。 但是随着投掷次数的增加， 数目越来越多， 很容易出错。 更简单的方法是先考虑第五次投掷硬币的可能性。 这当然只有两个 (1 和 0)。 这两个可能性， 每一个都可以跟投掷四次的 16 个可能性结合， 所以， 一共有 个可能性。 这种考虑方式可以一直应用到任何一个投掷次数 。 所以， 对于 次投掷来说， 连续出现 个正面的概率是 个 2 连乘) 。
捷克出生的英国剧作家斯托帕尔德 (Tom Stoppard， 1937一) 写过一部从莎士比亚的名剧《哈姆雷特》衍生出来的荒诞剧， 里面讲到哈姆雷特的两个大学同学在接到国王克劳迪 (Claudius) 的命令之前利用硬币来打赌。 其中一个连续扔了 92 次， 每次都是正面。 他们觉得有点儿不对劲。
不是 “有点儿” 不对劲， 而是非常不对劲。 任何一个计算器都可以告诉我们， 连续得到92个正面的概率是4， 951， 760， 157， 141， 521， 099， 596， 496， 896分之一！为了比较起见， 美国的彩票 (Lottery) 在积累到 16 亿美元时， 一张彩票中奖的概率大约是 300， 000， 000 分之一。
现在让我们回过头来再看图 1.4。 仅仅依靠这张图， 我们并不能对投掷 2000 次硬币做出一个确定的描述， 因为图 1.2 给出的数据只是一种实验结果。 根据上面的分析， 2000 个数据的排列方式应该有 种。 我们已经看到， 是一个 28 位数， 则要大得太多了。 对这么多的可能性逐一进行分析是绝对不可能的。
那么， 是否投掷很多次硬币就能确定它是否 “公正” 呢?
这个问题， 雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli， 1654-1705)花了20年时间才想明白。 在他的名著《猜度术》(The Art of Conjecture) 里， 伯努利第一次发现， 在 趋于无限大的时候， 一枚公正的硬币出现正反面的概率都是 0.5。 伯努利的这本著作被公认为是概率论作为一门数学科学诞生的标志。
关于概率论发展的故事我们在本书的后面会接着讲。 但是在讲这些故事之前， 需要一些准备知识， 包括排列组合、无穷数列及其极值等等。 它们的故事我们接下来慢慢讲。
本章主要参考文献
Kerrich， J. E. An experimental introduction to the theory of probability. Copenhagen: Belgisk Import Compagni， 1950: 98.