第六章 嗜赌的意大利怪才
我在另外一本书《数学现场——另类数学史》里讲过一个名叫杰罗拉莫·卡当诺(Gerolamo Cardano， 1501-1576)(图 6.1)的意大利数学家的故事。 他因为赌牌而大打出手， 甚至动刀刺伤了对手。 这个故事发生在威尼斯， 结局对卡当诺来说并不那么光彩。 刺伤对手后， 他抓了赌桌上的钱逃进狭窄曲折、宛如迷宫的威尼斯街道， 后面好几个暴徒紧紧追赶， 情况十分危急。 黑暗之中， 慌乱之下， 卡当诺一脚踩空， 掉进了污浊的运河。 这就更加糟糕了， 因为卡当诺不会游泳， 他在水里拼命挣扎， 眼看就要沉没， 幸亏有一只贡多拉小船经过， 他抓住船帮， 总算保住了一条性命。 攀上小船， 他面对的却是另一张熟悉而令人恐惧的脸——这是他在白天骗过的另一个赌徒。 也许这家伙刚赢了一大笔钱， 心情很好; 也许是惧怕威尼斯以强悍出名的水上警察， 不知什么原因， 这家伙不但没有动手报复， 反倒送给卡当诺一身干衣服， 放他走路。
卡当诺的一生大起大落， 喜剧悲剧不断， 极富传奇色彩， 很像小说中的人物。 这是一个充满矛盾的人， 著名德国数学家莱布尼茨曾经这样评价他:“卡当诺是一个拥有所有缺点的伟人。 假如没有这些缺点， 他将是无与伦比、独一无二的
图 6.1 杰罗拉莫・卡当诺。
卡当诺出生在意大利北部的帕维亚 (Pavia)， 这个小城距离名城米兰只有 35 公里。 他的父亲法西奥·卡当诺(Fazio Cardano)是个律师， 但酷爱数学而且颇有建树， 曾经在米兰大学讲授几何学， 还是达·芬奇 (Leonardo da Vinci， 1452-1519) 的好友， 为达·芬奇解释几何问题。 法西奥天性放荡不羁， 所到之地， 处处遗爱。 50多岁的时候， 他认识了一个 30 岁出头、社会地位低下的寡妇， 使她怀上了杰罗拉莫·卡当诺。 卡当诺在自传中说， 母亲怀他的时候， 米兰正在闹黑死病， 为逃避灾难， 法西奥把她送到帕维亚， 托一个朋友照看。 母亲试了各种打胎药， 企图使胎儿流产， 但这个不受欢迎的私生子还是在 1501 年 9 月 24 日出生了。 可怜的母亲花了三天时间才把他生下来， 为此受尽了痛苦。 在此之前， 这个可怜的母亲同前夫还生过三个孩子， 都在大疫灾期间死掉了。
体弱多病、无人求助、令人抑郁的童年， 粗暴无情的父亲， 加上别人的白眼， 养成了卡当诺玩世不恭的个性， 而且易怒好斗。 18 岁的时候， 他违背父亲的意愿， 拒绝成为一名律师， 进入帕维亚大学攻读哲学和科学。 可是在 1521 年， 意大利战争爆发。 法国与威尼斯共和国的军队在法王弗朗索瓦一世 (法语:François I°， 1494-1547) 的亲自率领下攻下米兰， 进军帕维亚。 神圣罗马帝国和英国的联军派兵支援， 双方激战四五个月， 最后以法军兵败， 国王弗朗索瓦一世被俘而结束。 这场战争使卡当诺的学业中断， 不得不逃到帕都亚 (Padua) 另起炉灶， 在帕都亚大学攻读医学。 学生期间， 他对理论知识的洞察力和对旁人的傲慢不羁都明白无误地彰显出来。 他常常在课堂上当着所有学生的面跟教授争论， 大声纠正他们的错误， 让他们尊严扫地。 这时他的父亲去世了， 他失去了生活来源， 于是赌博成为他赚钱的方式。
1525 年， 卡当诺得到医学博士学位。 刚刚毕业， 他就跑到威尼斯去赌钱， 发生了本章开头的故事。 回到帕维亚以后， 他多次申请进入米兰的医学院， 都遭到拒绝。 他早就得罪了很多名教授， 赌钱的陋习更让他名声扫地。 除此之外， 当时在意大利， 私生子的身份也不能获得行医的资格。 他只好搬到帕都亚边上的一个乡镇， 在那里无照行医。 1531 年， 他结了婚， 据说妻子是一个小旅店店主的女儿。 两个人没什么感情可言， 但还是在几年里连生了三个孩子。 无照行医， 找不到几个病人， 他的生活相当拮据。 在一段时间里， 他基本靠赌博为生。 输钱的时候， 不得不变卖家里的家具甚至妻子的首饰。
卡当诺父亲去世以后， 米兰皮亚提基金会 (Piatti Foundation) 的数学讲师位置一直空缺， 卡当诺不知怎么得到了这个职位。 他的工作不多， 就利用空闲时间给人看病， 这是非法的， 因为他仍然没有行医执照。 但他的知识和判断力都超乎寻常， 治好了几例疑难病症以后， 很快就在米兰名声大噪。 不久， 就连大学里的校董们也来找他看病了， 这使他终于得到了行医执照。 医学和数学并行， 他在其中如鱼得水， 其乐陶陶。 他的医术越来越有名， 许多贵族都找他看病。 他第一个正确地指出， 先天耳聋的人不需要先学讲话也可以学习， 而且第一次正确描述了伤寒病。 在意大利， 人们把他等同于著名的荷兰医师、历史上第一位解剖学家维萨里 (拉丁文: Andreas Vesalius， 1514- 1564)。 他号称曾经拒绝过丹麦国王、法国国王， 还有苏格兰女王的邀请。
后来回忆起来， 他说这是他一生最幸福的时代， 这也是他最为多产的时代。 他和塔塔利亚 (Tartaglia， 1499-1557) 在代数上的竞争就发生在这个时代， 他的绝大多数数学工作都是在这个时代完成的。 他在数学上的成就使人们称他为意大利的韦达 (François Viète， 1540-1603， 法国著名数学家)。
到了 40 岁的时候， 中年危机来临， 他放弃了所有工作， 在整整两年的时间里， 毫无节制地赌博， 有时整天整天地下棋。 或许这是他研究游戏概率的方式? 我们无从确认。 1542年底， 那个战败被俘的法国国王弗朗索瓦一世卷土重来， 想要把米兰地区据为法国所有。 这一次， 他跟信奉伊斯兰教的奥斯曼帝国联手来对付神圣罗马帝国。 战争迫使帕维亚大学再次关门。 意大利需要医生， 卡当诺被请到米兰和帕都亚讲授医学。
1546 年他的妻子去世了， 卡当诺并不怎么悲伤。 他刚刚发表了具有里程碑意义的数学名著《伟艺》(拉丁文:Ars Magna)， 还有很多书要写， 许多题目要研究。 他在数学和医学界的名望如日中天， 随之而来的是大量的财富， 他不再为没钱花而发愁了。 1552年年初， 圣安德鲁教区大主教汉密尔顿 (John Hamilton， 1512-1571) 花重金邀请他务必到苏格兰来。 汉密尔顿长期哮喘， 症状越来越严重， 发病越来越频繁， 法国国王和德意志皇帝的医师都来看过， 但一筹莫展。 卡当诺 6 月底到达爱丁堡， 9 月初离开的时候， 大主教的病情已经明显见好。 卡当诺发现， 主教的哮喘主要来自过敏， 而过敏源就是他的羽毛枕头。 于是， 他有了医治的 “秘方”。 在苏格兰， 无论到哪里， 卡当诺都被人以医学和数学天才来对待， 整天泡在赞美和恭维之中。 最终， 卡当诺谢绝了苏格兰宫廷的终身职位， 带着两千枚金币返回米兰。 据说， 汉密尔顿的哮喘两年后彻底好了。 这在当时医学知识有限的时代被看成是一件神奇的事情。
可是不久， 悲剧就不断在卡当诺身上发生。 他的大儿子于 1557 年拿到医生执照， 本来前程光明。 不幸的是他娶了一个女人， 照卡当诺的话说， 是一文不值， 毫无廉耻。 这女人的全家以挤榨卡当诺的财富为目的， 而她自己还经常红杏出墙。 最后， 大儿子发现几个子女都非自己亲生， 一怒之下， 在蛋糕里投下砒霜把这女人毒死了。 卡当诺虽然请了最好的律师， 但法庭坚持认为， 杀人必须偿命， 除非得到被害人家属的谅解。 被害人家属要了一个天文数字的赔偿金， 即使卡当诺非常富有， 仍然达不到要求。 儿子在监狱里受尽了虐待， 最后还是被砍头。 大儿子继承了父亲的聪明和学识， 是卡当诺唯一的骄傲。 将近 60 岁的时候丧失爱子， 卡当诺痛心疾首， 再也没能从悲痛中恢复过来。 他的个性本来就不受人喜欢， 从此更是变本加厉， 越发尖酸刻薄， 令人痛恨， 赌博就更加不可收拾了。 为了赢钱， 他仔细研究了各种赌博游戏的规则， 分析不同手法获胜的可能性。 60岁那年， 他写了一本书， 专门讨论赌博游戏获胜的机会， 是世界上第一本研究概率论的著作。
我们在第四章里讲到， 几千年来， 人们一直对投骰子的不确定性感到困惑莫测， 但却从未对其中的奥秘进行深入的分析。 这是为什么呢?
古希腊和古罗马的骰子游戏是一个集体活动。 比如古希腊的博来斯多博林达游戏， 是若干名赌客事先约定好， 羊拐四个面上的每个点值多少钱， 然后轮流投掷。 假定一点值一个希腊德拉克马 (Drachma， 古希腊钱币单位)， 而且游戏同时使用两只羊拐。 如果赌客甲得到 8 个点， 而赌客乙得到 11 个点， 那么赌客乙或者赢 3 枚德拉克马 (11- )， 或者赢得 19 枚 ， 最终结果取决于游戏规则。 这样的游戏可以有许许多多人同时参加， 不需要每个人独立思考如何下注， 输赢全靠运气。 这样的游戏规则， 只要事先大家同意了， 就一直玩下去， 中间没有思考的必要。 后来有许多微小的改变， 羊拐进化成立方体的骰子， 但无需个人单独下注的特征没有变。 类似的游戏规则一直延续到 11 世纪。
第一次十字军东征以后， 一种新的游戏规则从阿拉伯世界传到了欧洲。 这个规则的名字以法文 Hazart 和西班牙文 Azar 传入英国， 变成了 Hazard。 我们先叫它“涸砸”好了。 规则大致是这样的:两名赌客， 三枚骰子。 先丢骰子来决定由谁来作“投手”， 规则大致是这样的:两名赌客， 三枚骰子。 先丢骰子来决定由谁来作“投手”， 点数高者为胜。 投手选择一个点数作为 “涸砸”， 下首注。 这时非投手可以下注。 投手如果输了， 必须付给非投手相应的赌值。 当然投手必须接受对方的赌注， 赌局才可以继续。 赌局中， 投手若投出 “涸砸” 的点数， 他就赢得所有赌金， 对方还要附上首注的赌金。 如果得到的点数不等于 “涸砸”， 则有一套预定的复杂规矩， 把其他点数分为三类: 赢、输或继续投骰子来确定输赢。
这种阿拉伯规则与古老的欧洲规则非常不同。 赌客必须事先考虑到不同点数出现的概率， 因为这关系着他的成败。 比如， 9个点和 10 个点， 哪个出现的机会稍微多一些? 对一个每天要赌上几十次上百次的赌客来说， 微小的区别积累起来， 意味着成功或失败。 这也就是为什么涸砸 (hazard) 在英语里慢慢获得了 “风险” 的含义。
想要了解骰子里面的奥秘， 唯一的办法似乎就是花大量的时间投骰子， 也许能从中看出些门道来。 卡当诺是历史上第一位利用数学方法研究骰子的人。 在他的著作里， 卡当诺首次采用分析的方法来处理骰子的不确定性。
这本书的名字大致可以翻译为《博弈游戏之书》， 不过博弈这个词过于文雅， 而且容易同 “博弈论” 发生混淆。 在卡当诺的原文里， 是凭机会取胜的游戏 (games of chance)之书。
这是一本薄薄的小册子， 一共只有 15 页， 却分出 32 个章节， 但这是一本非常重要的书。 卡当诺在书里第一次指出随机事件发生概率的计算准则。
假定在一种游戏中存在 种概率相等的事件。 在投掷一个骰子的游戏里， 就是骰子表示的点数的数目 。 再假定在 种事件中， 对玩游戏的人有利的事件 (点数) 是 。 在投掷一个骰子的游戏里， 每次只能出现一个点数， 所以 。 卡当诺得到的重要的概率乘法法则是:对于一个 “公正” 的骰子 (也就是， 制造精确而且没有被人做过手脚的骰子) 来说， 如果一个事件在一次测试中出现的概率是 ， 那么在 次相同测试中， 该事件出现的概率就是 。 这个表述当然是现代代数语言。 在卡当诺生活的 16世纪， 距离用符号来表示变量、用算符来进行计算的时代还差二百多年呢。 卡当诺利用逻辑推理和极端情况的检验对投骰子的游戏得到这个结论， 虽然还没有严格的数学证明， 但已经相当不简单了。
作为例子， 我们看看卡当诺如何分析一个骰子游戏。 这个游戏使用两个骰子， 每投一次， 把两个骰子显示的点数加起来， 得分最高者得胜。 通过组合分析， 表 6.1 列出了两个骰子出现不同点数的所有可能性。 很明显， 12 点只有一种可能性， 那就是 (6， 6)， 即两个骰子都给出 6；11 点有两种可能， 分别是 和 ；10 点有三种可能， ; 其余类推。 既然每一个骰子出现 1 到 6 点数的概率都是 1/6， 根据概率的乘法规则， 两个骰子同时使用时 ， 任何一对点数出现的概率就都是 。
表 6.1 双骰子游戏所有可能的点数
| 点数 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | ||||||||||
| 6， 6 | 5， 6 | 2 | 5， 5 | 1 | 4， 5 | 2 | 4， 4 | 1 | 3， 4 | 2 | 3， 3 | 1 | 1， 4 | 2 | 1， 3 | 2 | 1， 2 | 2 | 1， 1 | 1 | |
| 4， 66 2 | 3， 6 | 2 | 3， 5 | 2 | 2， 5 | 2 | 2， 4 | 2 | 2， 3 | 2 | 2， 2 | 1 | |||||||||
| 2， 6 2 | 1， 6 | 2 | 1， 5 | 2 | |||||||||||||||||
| 总数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||||||||||
| 概率 | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | $1/{36}$ | ||||||||||
由于每一对点数出现的概率都是 1/36， 所以出现 12 点的概率是 1/36， 出现 11 点的概率是 2/36， 出现 10 点的概率是 3/36， 等等， 如表 6.1 所示。 我们看到， 概率的分布对应于中间数 7 是对称的。
搞清楚概率的分布以后， 卡当诺问: 如果想得胜， 也就是在游戏中得到一个 12 (也就是双6)， 最少需要投多少次？卡当诺的答案是 25 次。
卡当诺得到这个答案的过程十分繁复。 按照我们知道的概率理论， 他的结果相当于这样一个陈述: 把两个骰子掷一次， 得到 12 的概率是 ， 得不到的概率是 35/36。 如果掷 次， 那么得不到 12 的概率是 。 换句话说， 第 次投掷后， 能够得到 12 的概率是 。 这个概率至少要大于 才有得到 12 的真实可能性。 解 ， 得到 ， 也就是说， 至少要掷 25 次。
卡当诺虽然得到了不少正确的结论， 但他的数学分析方法是不完善的， 这怨不得他。 在他的年代， 概率统计的数学手段还没有诞生呢。 卡当诺专门用了几章的篇幅论述运气的重要性， 这说明他分析赌博游戏的思路还不完全是遵从数学和逻辑的。 他的书中还包括若干赌博中行骗的具体手段， 以及如何识别赌场工作人员的骗术， 因为他的本意就是要不择手段地赢钱。 这本书要等到他死后数十年才被出版。
卡当诺的后半生充满了悲剧。 大儿子死后不久， 女儿因卖淫染上梅毒而死， 几年以后， 小儿子又出事了。 这个小儿子一直不成器， 从小就偷偷摸摸， 吃喝嫖赌。 卡当诺已经记不清有多少次付款把他从监狱里赎出来了。 这一次， 他输光了自己的全部财产， 包括衣服， 还有一大笔父亲的钱， 然后跑到父亲家里， 偷走大量现金和珠宝。 卡当诺忍无可忍， 只能报警， 结果小儿子被博洛尼亚警方驱逐。
紧接着， 69岁的卡当诺自己也进了监狱。 卡当诺入狱的原因并不是赌博或打架， 而是因为他写了一本书， 利用占星术中的天宫图来描述耶稣基督， 并称赞曾经迫害过基督徒的罗马皇帝尼禄。 这些属于异端的行为使基督教会的上层人士们愤怒异常， 把他送上宗教审判所， 进了监狱。 他的小儿子在此时落井下石， 揭发批判， 使他的“罪行”更加严重。 后人认为， 其实他之所以写出这些离经叛道的文字， 只是为了在历史上留名， 即所谓 “如不流芳百世， 亦当遗臭万年”。 所以一经审判， 他马上忏悔， 不久就被释放了。 不过这一闹使他失去了教授的职位。 后来他搬到罗马， 靠教皇格里高利十三世(Gregori XIII， 1502-1585)发放的年金写完了自传。
卡当诺后来死在自己早些时候根据天象学预测的一个日子里。 很多人相信他是自杀， 认为他的目的是要证明自己先前预测的准确性。
卡当诺去世大约一百年后， 意大利的图斯堪 (Tuscan) 地区处在美第奇家族 (House of Medici) 的统治之下。 图斯堪大公科西莫二世 (Cosimo II， 1590-1621) 去世以后， 把爵位留给 10 岁的儿子斐迪南二世 (Ferdinando II， 1610-1670)。 由于年少， 国家大事由母亲和祖母掌管， 一直到他成年。 在那段游手好闲的日子里， 年轻的大公变得痴迷于骰子游戏。 有一天， 他问被他父亲任职为皇家数学家的伽利略 (Galileo Galilei， 1564-1642): “在同时投掷三个骰子的游戏里， 为什么总分 10 或 11 会比其他得分出现得多一些?”
能问出这种问题的人， 一定投过许许多多次骰子。
伽利略毕竟是伽利略， 他把这个问题变成数学问题， 经过深思熟虑给出了答案。 可是他那时还不知道， 实际上， 卡当诺早在一个世纪之前就已经解决了这个问题， 解决的思路跟投掷两个骰子的问题(表 6.1)是一样的。 只不过， 增加了第三个骰子以后， 排列组合问题变得复杂了些， 一共有 ， 也就是 216 种可能。 把它们都列出来就太长了， 我们只看其中的一部分， 见表 6.2。
表 6.2 同时投掷三个骰子获得点数的部分可能性 (9-12点的部分)
| 点数 | ... | 12 | 11 | 10 | 9 | ... | ||||
| ... | 6， 5， 1 | 6 | 6， 4， 1 | 6 | 6， 3， 1 | 6 | 6， 2， 1 | 6 | ... | |
| ... | 6， 4， 2 | 6 | 6， 3， 2 | 6 | 6， 2， 2 | 3 | 5， 3， 1 | 6 | ... | |
| ... | 6， 3， 3 | 3 | 5， 5， 1 | 3 | 5， 4， 1 | 6 | 5， 2， 2 | 3 | ... | |
| ... | 5， 5， 2 | 3 | 5， 4， 2 | 6 | 5， 3， 2 | 6 | 4， 4， 1 | 3 | ... | |
| ... | 5， 4， 3 | 6 | 5， 3， 3 | 3 | 4， 4， 2 | 3 | 4， 3， 2 | 6 | ... | |
| ... | 4， 4， 4 | 1 | 4， 4， 3 | 3 | 4， 3， 3 | 3 | 3， 3， 3 | 1 | ... | |
| 总数 | 25 | 27 | 27 | 25 | ||||||
| 概率 | 25/216 | 27/216 | 27/216 | 25/216 | ||||||
从表 6.1 和表 6.2 我们看出， 在两个骰子和三个骰子的游戏当中， 都是得到中间点数的机会最大。 在两个骰子的游戏中， 这个点数是 7 ; 而在三个骰子的游戏中， 10 和 11 出现的机会最多。 这就解释了斐迪南二世的观察。
卡当诺的研究开创了概率论和统计学的先河。 他一生中出版了 131 种著作， 还有 111 种尚未完成， 他自己还号称烧掉了 170 种手稿。 他发明了密码锁、卡丹驱动轴 (Cardan shafts;卡当诺在法语世界中以Jerome Cardan杰罗姆·卡丹的名字广为人知)， 还有万向接头。 这后两种发明在现代汽车、火车、机床等各种机械上都能看得到。 在几何学里， 他发现了圆内螺线， 也就是卡丹螺线， 后来在高速印刷机上被广为应用。 他在水力学上也有重要贡献， 并且正确指出永动机是不可能的。 他独自一个人出版过两部自然科学百科全书， 其中涉及大量的发明创造、科学的事实， 也包括各种不可思议的迷信。 他还发明了一种叫做卡丹格 (Cardan grilles) 的东西， 专门用来把文字变成难以破译的密码。 他的著作内容极其广泛， 涵括医学、算法、代数、几何、音乐、机械、炼金术、自然现象， 外加一本自传， 不愧为那个时代的大师。
卡当诺对自己有很清楚的评价。 他用来描绘自己的形容词， 可以编成一部咒人的词典。 他说:“我是个巫师兼魔术师， 性情急躁、爱钻牛角尖、容易被女人利用、狡猾、 诡计多端、讥讽挖苦、无礼、奸诈、可怜、悲哀、充满恨意、淫荡猥亵、说谎、下三滥， 还喜欢听老头们胡扯。 ”他对自己只用了一个正面的形容词， 那就是勤奋。
本章主要参考文献
Bellhouse， D. Decoding Cardano’s Liber de Ludo Aleae. Historia Mathematica， 2005， 32: 180-202.
Ekert， A. Complex and unpredictable Cardano. 2008， arXiv: 0806.0485v1.
Gorroochurn， P. Some laws and problems of classical probability and how Cardano anticipated them. Chance， 2012， 25: 13-20.
Kidd， S. Why Mathematical Probability Failed to Emerge from Ancient Gambling. Asperion， 2019， 53: 0045(25).