第二十六章 关于地球形状的争论
古希腊人具有独特的科学思辨。 毕达哥拉斯 (Pythagoras， 约公元前 570一约公元前495) 在公元前 6 世纪就对天地有了非同寻常的认识。 他从美学的观念出发， 断言既然宇宙是完善的， 宇宙中所有天体的形状和它们的运动轨道也必定都是完美的。 那么什么形状是完美的呢? 这当然因人而异。 有人说是圆柱体， 有人说是立方体。 不过在古希腊， 占主导地位的观念认为， 所有立体形状当中最完美的是球体， 一切平面形状当中最完美的是圆形， 因此， 宇宙必定是圆球形的， 天体也必定是球形的， 它们的运动轨道必定是圆周。 这种看法逐渐演变出一种宇宙系统结构的图像: 球形的大地位于宇宙中心， 它被天空围绕着， 天空中充满了空气和云; 天空是有限的， 它的壳层以外是天; 天火也是球壳状的区域; 天火外面是月亮、太阳以及行星， 大家都沿着圆周轨道运动; 再往外是纯元素聚集之地， 也是恒星所在之处; 最外层则是天堂。 你可能已经注意到， 这个模型对星体运行轨道的半径没有明确的限制， 似乎大家都可以在同一个巨大球面上运行。 大哲学家柏拉图学习了毕达哥拉斯派的数学以后回到雅典， 建立了自己的学院。 他在名著《斐多篇》(Phaedo)里面借用哲人苏格拉底(Socrates， 公元前 469-公元前 399) 之口这样说:
“我认为是这样的。 首先， 如果大地是球形的， 并且位于宇宙的中心， 那么它就不需要空气或任何其他东西对它施力， 以使它不致下坠。 天空的均匀和地球的平衡足以支持它。 ……从空中看去， 地球的真实表面很像由十二块皮子缝制的皮球， 每块皮子具有不同的颜色。 ”
两千多年以后， 柏拉图想象的情景基本上被阿波罗宇航船的照片所证实。
从公元前3世纪起， 亚历山大大帝 (Alexander the Great， 公元前 356一公元前 323) 用武力把希腊文明带到尼罗河谷， 那里的科学发展突飞猛进。 当阿基米德宣称， 他可以用杠杆移动地球的时候， 他心目中的地球应该和柏拉图所描述的没有大的区别。 而他的朋友、亚历山德里亚图书馆的主要负责人埃拉脱森尼 (Eratosthenes， 约公元前 276-约公元前 195) 则坚信这个庞大的球的周长是可以测量的。
埃拉脱森尼测量地球圆周的故事细节在《几何与代数卷》里讲述， 这里， 我们只需要简单提几句。 他假定地球是完美的球形。 通过利用木尺所作的观测， 埃拉脱森尼经过计算得到地球周长， 折算成今天的长度单位， 是 46250 千米。 而今天我们知道， 地球的平均半径是 6371 千米， 平均周长是 40030 千米。 以埃拉脱森尼当时的测量手段和限制条件， 能达到这样的精度令人难以置信。 埃拉脱森尼的观测里面含有各种各样的问题， 每个问题都会严重影响到测量的精度。 最大的问题是当时的长度单位， 有好几种折成今天标准长度的可能。
1800 年以后， 一位荷兰人决定重新测量地球的周长和半径。 威理博・司奈尔 (Willebrord Snellius， 1580-1626)(图26.1)生于荷兰的大城市莱顿， 也就是伯努利生活的地方。 他的父亲是莱顿大学的数学教授。 司奈尔在莱顿大学读书， 本来学的是法律， 跟伯努利一样， 数学把他半路 “劫持” 了。 由于他天资聪颖， 才华横溢， 20 岁的时候， 莱顿大学就聘请他临时讲授数学， 那时他自己大学还没有毕业呢。
1615 年， 司奈尔决定测量地球的半径。 当时由于航海的需要， 荷兰地图测绘技术飞速发展。 1533 年， 荷兰医师兼数学家和地图测绘专家赫马·弗里休斯 (Gemma Frisius， 1508-1555) 首次提出利用三角测量的方法进行测绘。 可惜这个当时 25 岁的年轻人只有聪明的头脑而没有健全的体魄， 只能在脑子里构想如何进行测绘。
图 26.1 威理博・司奈尔。
第谷·布拉赫很可能是第一位把弗里休斯的理论应用到实际工作当中的。 在设计乌拉尼城堡的时候， 第谷制造了直径大到 4.5 米的圆形测绘仪， 对文岛周围进行了仔细的勘测。 这个巨大的仪器每天需要 20 位工人搬运， 但给出相当精确的角度测量数据。 第谷需要准确地知道将来天文观测仪器的经纬度， 因为只有这样才能减小天文观测中的误差。
司奈尔的计划更是宏大:他要用三角测绘的方法把地球的半径算出来。 像第谷一样， 他也制作了一个巨大的四分仪 (也叫象限仪， 是个四分之一圆构成的测角仪)， 可以精确地测量几十分之一的角度。 在靠海的荷兰西部， 没有崇山峻岭， 地势平坦， 便于三角测绘。 当时的荷兰也没有高楼大厦， 每个城镇都有数个教堂， 而教堂的尖顶是最好的测绘参考点。 司奈尔选择了 14 个观测点， 自北向南有条不紊地进行测绘 (图 26.2)。 他从莱顿市里自己的房子的位置出发， 首先建立 5 条基线并测量它们的长度。 利用三角函数关系， 他从一条基线的已知长度和与其相邻的测线的角度， 计算出其他测线的长度。 这样一步一步测下去， 最后得到图 26.2 中所有测线的长度和与其相邻的测线之间的角度。 最终， 他得到从荷兰北端城市阿尔克马尔 (Alkmaar) 的圣劳伦斯大教堂到南端城市布雷达 (Breda) 的圣母大教堂之间的直线距离。 他使用的长度单位是当时的莱茵丈 (Rhineland rod)， 而真正标准化的莱茵丈是将近 200 年后 (1808 年) 才确定的。 5条基线， 54个测角， 经过一年多的测绘和计算， 司奈尔测得一纬度的子午线长度为 28500 莱茵丈。 以每丈等于 3.766 米来计算， 司奈尔得到的单位子午线长度为 107.3 千米。 这是一个很了不起的结果。 今天我们知道， 一纬度的平均子午线弧长为 111.13 千米。 司奈尔的结果仅仅比今天的准确值小不到 3.5%。 1617 年， 司奈尔发表了《地球的真实大小》(The Globe’s True Size)， 并在书名的上面加上 “荷兰的埃拉脱森尼”(Eratosthenes Batavus)。 显然， 他对自己的工作非常自豪， 自比古希腊的那位名人。 但是， 司奈尔没有考虑任何可能的误差对结果会产生什么样的影响。
图26.2 司奈尔在荷兰测绘时所采用的三角网络。 红线是经过阿尔克马尔的子午线， 也就是等经度线。 布雷达很接近这条子午线。 红圈是莱顿， 也就是司奈尔开始测量的位置。
50 年后， 1667 年的夏至那天， 法国科学院的成员们在巴黎郊外的一块土地上画出了未来巴黎天文观测站的轮廓。 这个天文台比英国著名的格林威治天文台还早了 8 年。 天文台的地点把通过巴黎的子午线分成南北两段。 在后来的 200 多年里， 这条子午线为法国的航海和地图制作提供了重要的基线。 被指派测量这条子午线长度的是天文学家皮卡尔 (Jean Picard， 1620-1682)。 皮卡尔性格谦虚平易， 举止不显山不露水。 他发表的科学论文数目极少， 但法国科学界对他的评价甚高。 他对望远镜的原理非常熟悉， 用这些原理来改进大地测量使用的四分仪， 在上面增加望远镜， 镜头里还设有确定中心的十字线， 这使得测量更加准确。 皮卡尔采用跟司奈尔相同的方法， 设定的测线一共有 13 个角， 从巴黎一直延伸到法国北部小城苏尔东 (Sourdon) 的钟楼。 当时法国使用的长度单位是图瓦斯 (Toise)， 1 个图瓦斯大致相当于今天的 1.949 米。 皮卡尔的测量工作从 1669 年开始， 到第二年结束， 最终得到一纬度子午线长度为 110.46 千米。 他的测量精度比司奈尔凭肉眼测量的结果提高了五六倍， 和今天的平均单位子午线长度之差仅为 0.6%。 把这个子午线单位长度乘以 360， 就得到地球的周长为 39766 千米， 由此得到地球的半径为 6328.9 千米。 这些数值成为当时地球理论的 “黄金标准”， 后来牛顿在他著名的万有引力理论中， 就直接采用了这些数值。 不过， 皮卡尔在他所著《地球的测量》一书中， 也没有讨论测量中的误差问题。
大地测量工作让皮卡尔意识到长度量具标准化的重要性， 所以次年 (1671年)， 他把注意力转到重力单摆上。 设想用一根没有重量的细线吊住一个小球， 在重力 (也就是地球引力)作用下， 小球来回摆动。 伽利略最早分析了单摆的摆动， 后来的科学家们已经把摆动周期 和摆线长度 的关系搞得一清二楚。 早在 1644 年， 马兰・梅森就对这个问题做过深入的研究。 在摆动范围很小的情况下，
其中， 的单位是秒， 是某个长度单位 (今天我们用米， 皮卡尔的时代用的是图瓦斯)， 是重力加速度， 其单位是长度除以秒的平方。 梅森因此提议， 用 秒的单摆长度来定义标准长度。 乍听起来， 这是一个很聪明的想法: 利用时间来定义长度。 每个人都可以用钟表来标定长度， 这样， 全世界的科学家就可以用相同的长度单位来说话了， 对不对? 1660 年， 法国皇家科学院开始认真考虑梅森的提议。 皮卡尔在巴黎的天文台仔细测量了单摆的长度， 提议根据这个长度定义标准图瓦斯。 可是第二年， 另一位天文学家让·里歇尔(Jean Richer， 1630-1696)报告说， 在靠近赤道的法属圭亚那首府开云 (Cayenne)， 同样是周期为两秒的单摆， 它的长度却比在巴黎短了 0.3%。
两个不同的地点， 环境不同， 气温、湿度可能都不一样， 单摆的长度只有 0.3% 的差别， 这究竟有多重要?
牛顿对皮卡尔和里歇尔的测量结果非常有信心， 因为他有一个理论。 他假定起初的地球全是液体， 而液体在静止状态下的稳定形状是个圆球， 可是地球在不停地自转， 转动在地球的表面和内部都产生离心力。 离心力总是同转动轴相垂直， 而地球的万有引力总是指向地心的。 所以， 在赤道上， 单摆受到的万有引力和离心力的方向正好相反， 所以式 (26.1) 中的重力加速度实际上是地心引力减去离心力。 在南北极， 离心力等于零， 因为极点跟地球的转动轴重合， 所以式 (26.1) 中的重力加速度就是地心引力。 实际上， 地球的转动轴和南北极并不完全重合， 不过差别不大， 在这里可以忽略不计。 牛顿论证说， 离心力使得地球的形状偏离球体， 而成为椭球状， 在两极方向要稍微短一点。 根据他的计算， 极地与赤道之间重力加速度的差别是 1/289。 换句话说， 如果在南北极处的单摆小球受到的万有引力造成的重力加速度是 ， 那么在赤道上， 同一个小球受到的引力与离心力的总和造成的重力加速度应该是 。 从这个结果出发， 牛顿计算出地球沿两极方向的半径 与赤道半径 的差别 (图 26.3)。 他发现， 。 也就是说， 地球并不是一个完美的圆球， 它是在两极的方向压扁的椭球， 类似北欧出产的那种大南瓜。
图26.3 牛顿的地球模型 (实线的椭圆) 和卡西尼的地球模型 (虚线的椭圆)。 代表北极。 这两个形状的横轴与纵轴的差别都被有意放大， 以显示二者的区别。 如果按照两条轴的真实比例作图， 那就很难看出它们同圆球形的区别了。
牛顿在 1687 年出版的名著《自然哲学的数学原理》中阐述了上述研究成果， 马上引起了轩然大波。
有一个人却对牛顿的研究成果嗤之以鼻。 此人名叫卡西尼 (Giovanni Domenico Cassini， 1625-1712)， 是当时欧洲天文学和数学界的权威。 卡西尼出生在意大利， 曾经在欧洲最古老的博洛尼亚 (Bologna) 大学担任天文学教授。 1671 年， 他接受邀请来到巴黎， 主持巴黎天文台的工作。 卡西尼对法国式的生活十分欣赏， 很快就把自己当成全料的法国人， 入了法国籍， 连名字都改成了Jean-Dominique， 实际上， 意大利语的 Giovanni 和法语的 Jean 等同于英语的 John (约翰)。
卡西尼受到天文界同行广泛尊重的原因之一， 就是关于地球经度线的工作。 要想确定经度， 需要两个观测者站在两个不同的位置上， 同时测量这两个位置相对于某个恒星的角度。 然后通过这个角度和两个观测者在相同纬度上的距离， 算出他们之间的经度差。 由于地球在不断地自转， 每个观测者都在相对恒星坐标运动， 所以两个测量必须在同一时刻进行。 时间上差错越大， 测量的经度差的误差也就越大。 使用钟表是不可靠的， 最好是能在天空中找到一个时标， 供两个观测者同时使用。 伽利略在观测到天王星的四大卫星以后， 发现这些卫星之间常常出现类似月食的现象: 一个卫星的影子投到另一个卫星的表面。 伽利略提出， 这种 “月食” 可以用来标定时钟。 1668 年， 卡西尼制作了精细的天王卫星 “月食” 时刻表。 利用这项技术， 他测量了子午线的长度， 甚至火星的轨道。
卡西尼 1685 年前后在巴黎附近沿着子午线做过好几次测量， 从数据得到的结论跟牛顿正好相反。 卡西尼的地球不是轴向缩短的 “南瓜”， 而是两头拉长的 “柠檬” (图 26.3)。 对于一个观测天文学家来说， 他当然更相信自己的数据， 他认为牛顿的所谓理论， 不过是纸上谈兵， 胡猜乱想而已。 从 1700 年到 1733 年， 在卡西尼和儿子杰克 (Jacques Cassini， 1677-1756) 的主持下， 法国进行了三次子午线的测量工作， 贯穿法国南北。 这是当时举世瞩目的工作， 他得到的结论是， 地球还是像柠檬。 于是关于地球形状的争论持续了 50 年。
1735 年， 法国科学院决定派出两支队伍对极地和赤道的纬度长度进行实地测量。 极地地区选在北欧极地芬诺斯堪的纳维亚的拉普兰 (Lapland， 今天芬兰和挪威的北部)， 赤道地区选在南美北部靠近赤道的秘鲁(今天的厄瓜多尔)。 他们希望把地球形状的问题彻底解决， 一劳永逸。
前往拉普兰的探险队由莫佩尔蒂 (Pierre-Louis Moreau de Maupertuis， 1698- 1759) 率领， 其中包括著名的瑞典天文学家摄尔休斯 (Anders Celsius， 1701-1744， 摄氏温标的创立者) 和法国数学家克莱罗 (Alexis Claude de Clairault 或 Clairaut， 1713- 1765)。 他们于 1736 年 4 月离开巴黎， 次年 7 月凯旋而归。 开往秘鲁的一支虽然提前一年启程 (1735 年 4 月)， 但第二年 6 月才抵达驻地， 而且种种想象不到的艰难险阻使他们的工作持续到 1743 年， 整整奋斗了 8 年。
秘鲁的测绘工作从雅鲁吉(Yaruqui)平原的基准线开始。 这条基准线全长6273 图瓦斯， 也就是 12 千米多一点。 探险队分成两个测绘小组， 独立测量， 每组用三根木质测杆， 每根长 20 尺， 两端嵌铜。 两组标杆漆着不同的颜色， 以防混淆， 测量时使用的顺序从不改变。 每天， 他们用一条标准图瓦斯来仔细标定这些标杆。 这标准图瓦斯是专门从巴黎带来的， 用铸铁制成， 长度随温度的变化很小。 测量时， 他们先把基准线上的标杆都用一条细线串联起来， 以保证测量时， 测杆所摆放的方向同基准线保持一致。 由于地势的升降， 有时测杆的两端都无法接触标杆， 他们就采用铅垂线的办法来保证测杆的准确位置。 这 12 千米测量下来， 经过仔细的误差校正， 两个小组之间的测量差别只有 0.012 图瓦斯， 也就是 23 毫米。 这个差别， 不到基准线长度的百万分之二。 这个精度简直令人不可置信。
秘鲁的测线全部落在安第斯山脉上。 这是世界上最长的大陆山脊， 它纵贯南美西部， 全长 8000 多千米， 宽 200 到 700 千米， 平均海拔 4000 米。 山上多处终年积雪， 白雪下面是一连串的火山， 寸草不生， 罕无人迹。 探险队所测量的地区， 海拔在 2000 米到 4500 米之间。 队员们需要扛着沉重的测绘仪器， 沿着崎岖险峻的小路一步一步攀行。 暴雨和冰雪经常使这些小路成为死亡之路。 食物短缺， 无法依赖当地人所提供的援助。 有时为了一个小时的测量， 必须在山上苦等一个月。 疟疾泛滥， 探险队中有人死亡， 雇来的劳工纷纷逃走。 其间令人扼腕和拍案的故事多极了， 可是为了不跑题太远， 这里只好割爱了。
经过 8 年的努力， 将近 400 千米的测量终告结束。 把秘鲁的测量结果同拉普兰的结合起来， 证明牛顿是对的， 不过， 赤道与极地纬度长度的差别比牛顿估计的要稍稍小一点， 只有 左右。 问题是， 拉普兰的数据和秘鲁的数据是两个不同的探险队得到的， 两套数据可能有不同的系统误差。 比如， 假如两个探险队每天标定图瓦斯的方式稍有不同， 气温也不一样， 会不会造成两个探险队使用的图瓦斯本身存在差异呢? 这类的系统误差将会怎样影响最终的结果呢?
杰克·卡西尼继承了父亲的职业， 也是个有名的天文学家和大地测量学家。 他的巴黎子午线测量工作， 从法国南端到北端长达1400千米， 而且采用内插法计算纬度的长度。 他重复测量了好几次。 不仅如此， 他还发明了一个新的方法， 利用月亮在其他星球上的投影来确定经度。 可是他仍然得出地球南北长、赤道短的结论。 18 世纪的人们意识到， 误差分析对于科学观测和理论的发展具有十分重要的意义， 没有一套坚实的误差统计分析理论， 科学就无法向前发展了。
本章主要参考文献
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Smith， J.R. The Meridian Arc Measure in Peru， 1735-1745. Surveying and Mapping the Americas - In the Andes of South America (Washington， D.C.: Federation International Geometre Convention， 2002).