2.2.10 摄动法及其应用

摄动法是矩阵理论中的常用方法, 它利用连续函数的性质将一般矩阵问题的讨论转化为对非异阵的讨论. 在本节中, 我们将详细阐述摄动法的原理及其在伴随阵性质的证明和行列式求值中的应用. 我们将会在后面的章节中陆续看到摄动法的进一步应用.

首先,我们来证明一个简单的命题,它告诉我们对任意的 $n$ 阶矩阵 $A$ ,经过微小的一维摄动之后, $t I_{n} + A$ 总能成为一个非异阵.

例 2.70 设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵,求证: 存在一个正数 $a$ ,使得对任意的 $0 < t <$ $a$ ,矩阵 $t I_{n} + A$ 都是非异阵.

证明通过简单的行列式计算, 可得

∣ t I_{n} + A ∣ = t^{n} + a_{1} t^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} t + a_{n},

这是一个关于未知数 $t$ 的 $n$ 次多项式. 由例 1.31 可知上述多项式至多只有 $n$ 个不同的根. 若上述多项式的根都是零,则不妨取 $a = 1$ ; 若上述多项式有非零根,则令 $a$ 为 $∣ t I_{n} + A ∣$ 所有非零根的模长的最小值. 因此对任意的 $0 < t_{0} < a, t_{0}$ 不是 $∣ t I_{n} + A ∣$ 的根,即 $∣ t_{0} I_{n} + A ∣ \neq = 0$ ,从而 $t_{0} I_{n} + A$ 是非异阵.

摄动法的原理设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵,则由上例可知,存在一列有理数 $t_{k} \to 0$ ,使得 $t_{k} I_{n} + A$ 都是非异阵. 如果一个矩阵问题对非异阵成立,特别地对 $t_{k} I_{n} + A$ 成立,并且该问题关于 $t_{k}$ 连续,则可让 $t_{k} \to 0$ ,最后得到该问题对一般的方阵 $A$ 也成立. 我们要注意: 摄动法处理的矩阵问题一定要关于 $t_{k}$ 连续. 这一点十分重要,否则将不能用摄动法来归结处理. 一般来说, 运用摄动法的步骤分为两步: 首先处理非异阵的情形; 其次再利用摄动以及取极限得到一般情形的证明.

首先, 我们给出伴随矩阵几个基本性质的摄动法证明.

例 2.24 的证法 2 若 $A, B$ 均为非异阵,则 $A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}, B^{*} = ∣ B ∣ B^{- 1}$ ,从而

(A B)^{*} = ∣ A B ∣ (A B)^{- 1} = ∣ A ∣ ∣ B ∣ (B^{- 1} A^{- 1}) = (∣ B ∣ B^{- 1}) (∣ A ∣ A^{- 1}) = B^{*} A^{*} .

对于一般的方阵 $A, B$ ,可取到一列有理数 $t_{k} \to 0$ ,使得 $t_{k} I_{n} + A$ 与 $t_{k} I_{n} + B$ 均为非异阵. 由非异阵情形的证明可得

((t_{k} I_{n} + A) (t_{k} I_{n} + B))^{*} = (t_{k} I_{n} + B)^{*} (t_{k} I_{n} + A)^{*} .

注意到上式两边均为 $n$ 阶方阵,其元素都是 $t_{k}$ 的多项式,从而关于 $t_{k}$ 连续. 上式两边同时取极限,令 $t_{k} \to 0$ ,即有 $(AB)^{*} = B^{*} A^{*}$ 成立.

例 2.26 的证法 2 若 $A$ 是非异阵,例 2.26 的证法 1 已经证明了 $∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}$ . 对于一般的方阵 $A$ ,可取到一列有理数 $t_{k} \to 0$ ,使得 $t_{k} I_{n} + A$ 为非异阵. 由非异阵情形的证明可得

(t_{k} I_{n} + A)^{*} = ∣ t_{k} I_{n} + A ∣^{n - 1} .

注意到上式两边均为行列式的幂次,其值都是 $t_{k}$ 的多项式,从而关于 $t_{k}$ 连续. 上式两边同时取极限,令 $t_{k} \to 0$ ,即有 $∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}$ 成立.

例 2.27 的证法 2 若 $A$ 是非异阵,例 2.27 的证法 1 已经证明了 $(A^{*})^{*} =$ $∣ A ∣^{n - 2} A$ . 对于一般的方阵 $A$ ,可取到一列有理数 $t_{k} \to 0$ ,使得 $t_{k} I_{n} + A$ 为非异阵. 由非异阵情形的证明可得

((t_{k} I_{n} + A)^{*})^{*} = ∣ t_{k} I_{n} + A ∣^{n - 2} (t_{k} I_{n} + A) .

注意到上式两边均为 $n$ 阶方阵,其元素都是 $t_{k}$ 的多项式,从而关于 $t_{k}$ 连续. 上式两边同时取极限,令 $t_{k} \to 0$ ,即有 $(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 2} A$ 成立.

例 2.28 的解法 2 若 $A, B$ 均为非异阵,则

C (∣ B ∣ A^{*} O O ∣ A ∣ B^{*}) = (A O O B) (∣ B ∣ A^{*} O O ∣ A ∣ B^{*})

= (∣ B ∣ A A^{*} O O ∣ A ∣ B B^{*}) = (∣ A ∣ ∣ B ∣ I_{m} O O ∣ A ∣ ∣ B ∣ I_{n})

= ∣ C ∣ I_{m + n} = C C^{*},

注意到 $C$ 非异,故由上式可得

C^{*} = (A O O B)^{*} = (∣ B ∣ A^{*} O O ∣ A ∣ B^{*}) .

对于一般的方阵 $A, B$ ,可取到一列有理数 $t_{k} \to 0$ ,使得 $t_{k} I_{m} + A$ 与 $t_{k} I_{n} + B$ 均为非异阵. 由非异阵情形的证明可得

(t_{k} I_{m} + A O O t_{k} I_{n} + B)^{*} = (∣ t_{k} I_{n} + B ∣ (t_{k} I_{m} + A)^{*} O O ∣ t_{k} I_{m} + A ∣ (t_{k} I_{n} + B)^{*}) .

注意到上式两边均为 $m + n$ 阶方阵,其元素都是 $t_{k}$ 的多项式,从而关于 $t_{k}$ 连续. 上式两边同时取极限,令 $t_{k} \to 0$ ,即有 $(A O O B)^{*} = (∣ B ∣ A^{*} O O ∣ A ∣ B^{*})$ 成立. $□$

下面两个例子显示了摄动法在行列式求值中的作用.

例 2.71 设 $A, B, C, D$ 是 $n$ 阶矩阵且 $A C = C A$ ,求证:

A C B D = ∣ A D - CB ∣ .

证明若 $A$ 是非异阵,则由降阶公式可得

A C B D = ∣ A ∣ D - C A^{- 1} B = A D - A C A^{- 1} B = ∣ A D - CB ∣ .

对于一般的方阵 $A$ ,可取到一列有理数 $t_{k} \to 0$ ,使得 $t_{k} I_{n} + A$ 为非异阵,并且条件 $(t_{k} I_{n} + A) C = C (t_{k} I_{n} + A)$ 仍然成立. 由非异阵情形的证明可得

t_{k} I_{n} + A C B D = ∣ (t_{k} I_{n} + A) D - CB ∣ .

注意到上式两边均为行列式,其值都是 $t_{k}$ 的多项式,从而关于 $t_{k}$ 连续. 上式两边同时取极限,令 $t_{k} \to 0$ ,即有 $A C B D = ∣ AD - CB ∣$ 成立. [

注例 2.71 也给出了例 2.60 的摄动法证明.

例 1.8 的证法 2 设 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{'}, y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})^{'}$ . 若 $A$ 是非异阵, 则由降阶公式可得

A y^{'} x 1 = ∣ A ∣ (1 - y^{'} A^{- 1} x) = ∣ A ∣ - y^{'} A^{*} x .

对于一般的方阵 $A$ ,可取到一列有理数 $t_{k} \to 0$ ,使得 $t_{k} I_{n} + A$ 为非异阵. 由非异阵情形的证明可得

t_{k} I_{n} + A y^{'} x 1 = ∣ t_{k} I_{n} + A ∣ - y^{'} (t_{k} I_{n} + A)^{*} x .

注意到上式两边都是关于 $t_{k}$ 的多项式,从而关于 $t_{k}$ 连续. 上式两边同时取极限, 令 $t_{k} \to 0$ ,即有

A y^{'} x 1 = ∣ A ∣ - y^{'} A^{*} x = ∣ A ∣ - i = 1 \sum n j = 1 \sum n A_{ij} x_{i} y_{j} . □

Youliang Zhong

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