三阶行列式

定义 1.2. 三阶行列式

令

$$\begin{array}{rl}D& =\left|\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ & =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}\\ & -a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31},\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

我们称它为三阶行列式.

斜线记忆法

三阶行列式定义没有二阶行列式那么容易记忆, 需要注意展开式的六项中哪些项带有正号, 哪些项带有负号. 可以帮助大家记忆, 实线上的 3 个元素之积构成的三项都取正号, 虚线上 3 个元素之积构成的三项都取负号.

图 1.1

行列式表达方程组的解

类似地, 若三元线性方程组 $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2,\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}$ 的系数行列式 $D=\left|\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\ne 0,$ 则用消元法同样可求得其解为 $\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{D_1}{D},\\ x_2=\frac{D_2}{D},\\ x_3=\frac{D_3}{D},\end{array}$ 其中 $D_1,D_2,D_3$ 是将 $D$ 的第一列、第二列、第三列分别换成常数项所得到的三阶行列式, 即

{D}_{1} &= \left| \begin{array}{lll} {b}_{1} & {a}_{12} & {a}_{13} \\ {b}_{2} & {a}_{22} & {a}_{23} \\ {b}_{3} & {a}_{32} & {a}_{33} \end{array}\right| \\\\ {D}_{2} &= \left| \begin{array}{lll} {a}_{11} & {b}_{1} & {a}_{13} \\ {a}_{21} & {b}_{2} & {a}_{23} \\ {a}_{31} & {b}_{3} & {a}_{33} \end{array}\right| \\\\ {D}_{3} &= \left| \begin{array}{lll} {a}_{11} & {a}_{12} & {b}_{1} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & {b}_{2} \\ {a}_{31} & {a}_{32} & {b}_{3} \end{array}\right| \end{align}$$

例题 1.1