例题 3.2

例题 3.2.

计算 $n$ 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & n-1\\ n& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right|.$

\begin{proof} 通过观察可知,此行列式只可能含一个非零项 $a_{12}{a}_{23}\cdots a_{n-1,n}{a}_{n1}$, 由列指标所构成排列的逆序数 $\tau \left(23\cdots \left(n-1\right)n1\right)=n-1$, 故原行列式 $D={\left(-1\right)}^{\tau \left(23\cdots \left(n-1\right)n1\right)}{a}_{12}{a}_{23}\cdots a_{n-1,n}{a}_{n1}={\left(-1\right)}^{n-1}n!.$ \end{proof}