例题 3.3

例题 3.3.

计算 $n$ 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{n-1,n-1}& a_{n-1,n}\\ 0& 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right|.$

\begin{proof}

• 根据定义, $D$ 的展开式中每一项都可以写成 ${\left(-1\right)}^{\tau \left(j_1{j}_2\cdots j_n\right)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$ 的形式.
• 由于这个行列式的第 $n$ 行中除了 $a_{nn}$ 外其余元素都是 0,
  • 所以含 $j_n\ne n$ 的项其值皆为零,
• 因此只需考虑项中含 $j_n=n$ 的那项即可.
• 再看第 $n-1$ 行, 这一行中只有 $a_{n-1,n-1}$ 和 $a_{n-1,n}$ 这两个元素可能不为零,
  • 因此不为 0 的项只有可能在 $j_{n-1}$ 取 $n-1$ 或 $n$ 时得到.
  • 由于同一列中只可以选取一个元素,
    • 所以 $j_{n-1}\ne n$ ,
  • 故只有 $j_{n-1}=n-1$ .
• 按同样的推理方法依次推出, $D$ 的展开式中非零项只可能是 ${\left(-1\right)}^{\tau \left(12\cdots n\right)}{a}_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$
• 所以有

$D=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}.$ \end{proof}

Question

请用数学归纳法证明。