例题 4.2

例题 4.2.

计算 $n$ 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 2& 2& 0& \cdots & 0\\ 4& 0& 3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 2^{n-1}& 0& 0& \cdots & n\end{array}\right|.$

\begin{proof}

• 第 2 行的 $-\frac{1}{2}$ 倍,
• 第 3 行的 $-\frac{1}{3}$ 倍,
• $\cdots$,
• 第 $n$ 行的 $-\frac{1}{n}$ 倍加到第 1 行, 即

$$\begin{array}{rl}D\frac{r_1-\frac{1}{i}{r}_i}{i=2,3,\cdots ,n}& \left|\begin{array}{ccccc}1-\sum _{i=2}^n\frac{1}{i}{2}^{i-1}& 0& 0& \cdots & 0\\ 2& 2& 0& \cdots & 0\\ 4& 0& 3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 2^{n-1}& 0& 0& \cdots & n\end{array}\right|\\ =& \left(1-\sum _{i=2}^n\frac{1}{i}{2}^{i-1}\right)\times 2\times 3\times \cdots \times n\\ =& -\sum _{i=3}^n\frac{1}{i}{2}^{i-1}n!\end{array}$$

\end{proof}