例题 4.3

例题 4.3.

计算 $n$ 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}1& x& x& \cdots & x\\ x& 1& x& \cdots & x\\ x& x& 1& \cdots & x\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ x& x& x& \cdots & 1\end{array}\right|.$

\begin{proof}

$$\begin{array}{rl}D\frac{r_1+r_j}{j=2,3,\cdots ,n}& \left|\begin{array}{ccccc}1+\left(n-1\right)x& 1+\left(n-1\right)x& 1+\left(n-1\right)x& \cdots & 1+\left(n-1\right)x\\ x& 1& x& \cdots & x\\ x& x& 1& \cdots & x\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ x& x& x& \cdots & 1\end{array}\right|\\ \frac{\frac{r_1÷\left[1+\left(n-1\right)x\right]}{r_j-x{r}_1}}{j=2,3,\cdots ,n}& \left[1+\left(n-1\right)x\right]\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1-x& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1-x& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1-x\end{array}\right|\\ =& \left[1+\left(n-1\right)x\right]{\left(1-x\right)}^{n-1}.\end{array}$$

\end{proof}

例题 4.3 中行列式的特点是行列式的每一行 (列) 元素的和都相等. 此类题目有多种求法,

• 例题 4.3 的求解方法比较简单,
  • 即将第 $2,3,\cdots ,n$ 行(列) 都加到第 1 行 (列),
  • 则第 1 行 (列) 的元素相等,
  • 稍作变换即可化为上三角形行列式,
  • 从而求得其值.