矩阵等价

矩阵等价

定义 3.2. 矩阵等价

• 若矩阵 $\mathbf{A}$ 经一系列初等变换变成矩阵 $\mathbf{B}$ ，则称 $\mathbf{A}$ 等价于 $\mathbf{B}$ 。
  • 换句话说, $\mathbf{A}$ 等价于 $\mathbf{B}$ 是指有一个由矩阵组成的序列
  \begin{aligned} \boldsymbol{A} &=\boldsymbol{A}{1} \rightarrow \boldsymbol{A}{2} \rightarrow \boldsymbol{A}{3} \rightarrow \ &\cdots \rightarrow \boldsymbol{A}{s} = B \quad(s \geqslant 1) \end{aligned} - 其中每个 $\boldsymbol{A}_{i+1}(i=1,2, \cdots, s-1)$ 可由 $\boldsymbol{A}_{i}$ 经一次初等变换得到.

等价关系

” $A$ 等价于 $B$ “是两个矩阵之间的关系，它满足以下三条性质：

1. 反身性：即 $\mathbf{A}$ 等价于 $\mathbf{A}$ ；
2. 对称性：若 $\mathbf{A}$ 等价于 $\mathbf{B}$ ，则 $\mathbf{B}$ 等价于 $\mathbf{A}$;
3. 传递性：若 $\mathbf{A}$ 等价于 $B,B$ 等价于 $C$ ，则 $\mathbf{A}$ 等价于 $C$ 。

\begin{proof}

• 反身性显然成立，
• 传递性也不难证明。
• 而我们已经指出，当 ${\mathbf{A}}_i$ 经一次初等变换变成 $A_{i+1}$ 时， $A_i$ 也可由 $A_{i+1}$ 经一次初等变换得到，故对称性成立。 \end{proof}

因为有对称性，我们可把 ” $A$ 等价于 $B$ “表述成 ” $A,B$ 等价”。