2.2 矩阵的分块

• 对于行数和列数较大的矩阵, 为了计算简单, 常采用的一种方法就是矩阵分块，
  • 即把一个较大的矩阵分块成为若干个小的矩阵，
  • 把每个子块看成一个 “元素”时，
  • 它们依然构成一个矩阵.
• 将矩阵 $\mathbf{A}$ 用若干条水平线和垂直线划分成一些小矩阵,
  • 每个小矩阵称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的一个子块,
  • 以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵.
• 注意，分块时同行的子块要求行数一样，同列的子块要求列数一样.
• 例如矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 0& 3& 1\\ 0& 1& 0& -1& 2\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}\mathbf{W}& \mathbf{X}\\ \mathbf{Y}& \mathbf{Z}\end{array}\right)$$

其中

• $\mathbf{W}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

• $\mathbf{X}=\left(\begin{array}{rr}3& 1\\ -1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$

• $\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

• $\mathbf{Z}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

• 即按照上述水平线和垂直线分块后,

  • 就得到一个 $2\times 2$ 的分块矩阵.

• 一般来说，分块表示方法是把一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 用水平线和垂直线分割成若干个小矩阵.

• 例如,

  • 水平线把 $m$ 行分成 $s$ 组,
    • 各组依次有 $m_1,m_2,\cdots ,m_s$ 行,
  • 垂直线把 $n$ 列分成 $t$ 组，
    • 各组有 $n_1,n_2,\cdots ,n_t$ 列。

• 于是矩阵 $\mathbf{A}$ 就变成

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{st}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

- 此时， $\boldsymbol{A}$ 由小矩阵 $\boldsymbol{A}_{i j}$ 组成，
	- $\boldsymbol{A}_{i j}$ 为 $m_{i} \times n_{j}$ 矩阵。

• 形象地说,
  • 给定一个矩阵 $\mathbf{A}$, 在行间作从左到右的若干水平线,
  • 在列间作从上到下的若干垂直线，
  • 从而把矩阵化为若干个级数小的矩阵。
• 如果
  • $s=t$ ，
  • 且当 $i\ne j$ 时 ${\mathbf{A}}_{ij}=0$,
• 那么就称矩阵 $\mathbf{A}$ 为 准对角矩阵,
  • 即 $\mathbf{A}$ 有如下形式

$$\left(\begin{array}{llll}{A}_{11}& & & \\ & A_{22}& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{ss}\end{array}\right)$$

又如，设

$$\begin{array}{c}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}1& 0& 3& 2\\ 0& 1& 4& 5\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_2& {\mathbf{A}}_1\\ 0& {\mathbf{E}}_2\end{array}\right)\\ \mathbf{B}=\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& -7& -8\\ 0& 1& 6& -4\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_2& {\mathbf{B}}_1\\ 0& {\mathbf{E}}_2\end{array}\right)\end{array}$$

直接计算得 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3-7& 2-8\\ 0& 1& 4+6& 5-4\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_2& {\mathbf{A}}_1+{\mathbf{B}}_1\\ 0& {\mathbf{E}}_2\end{array}\right)$

• 分块后的矩阵运算和一般的矩阵运算一样。
• 在对矩阵进行分块时一定要注意分块后运算有意义。
  • 用于两个矩阵相乘时，
    • 第一个矩阵的 列的分法
    • 和第二个矩阵的 行 的分法要一致。
  • 这样，在把小矩阵当矩阵元素相乘时才有意义，也就是说如果矩阵分块后求 ${\mathbf{A}}_{sn}{\mathbf{B}}_{nm}$ ，那么分块后其形式如下:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1\ell }\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2\ell }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{t1}& A_{t2}& \cdots & A_{t\ell }\end{array}\right)$$

• 其中 ${\mathbf{A}}_{ij}$ 是 $s_i\times n_j$ 矩阵,
  • $s_1+s_2+\cdots +s_t=s$,
  • $n_1+n_2+\cdots +n_{\ell }=n$

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{B}}_{12}& \cdots & {\mathbf{B}}_{1r}\\ {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{B}}_{22}& \cdots & {\mathbf{B}}_{2r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{B}}_{\ell 1}& {\mathbf{B}}_{\ell 2}& \cdots & {\mathbf{B}}_{\ell r}\end{array}\right)$$

• 其中 $B_{ij}$ 是 $n_i\times m_j$ 矩阵,
  • $n_1+n_2+\cdots +n_{\ell }=n$,
  • $m_1+m_2+\cdots +m_T=m$

$$AB=\left(\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1r}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ C_{t1}& C_{t2}& \cdots & C_{tr}\end{array}\right)$$

• 其中

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{C}}_{ij}& ={\mathbf{A}}_{i1}{\mathbf{B}}_{1j}+{\mathbf{A}}_{i2}{\mathbf{B}}_{2j}+\cdots +{\mathbf{A}}_{i\ell }{\mathbf{B}}_{\ell j}\\ & =\sum _{k=1}^{\ell }{\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}\\ & (i=1,2,\cdots ,t;j=1,2,\cdots ,r)\end{array}$$

• 同样，用于矩阵的加法时，
  • 两个相加的矩阵必须在分块后对应位置上的矩阵大小相同,
  • 使得矩阵加法有意义.
• 此处不写出具体的形式,
  • 但需要强调的是关于分块矩阵的转置.
• 设矩阵 $\mathbf{A}$ 的分块如 (2.1) 所示, 则有

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{21}^{\mathrm{T}}& \cdots & {\mathbf{A}}_{s1}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{A}}_{12}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{22}^{\mathrm{T}}& \cdots & {\mathbf{A}}_{s2}^{\mathrm{T}}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{1t}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{2t}^{\mathrm{T}}& \cdots & {\mathbf{A}}_{st}^{\mathrm{T}}\end{array}\right),$$

- 也就是说，
	1. 先转置分块矩阵，
	2. 再转置每个小分块，
	3. 这就得到 $\boldsymbol{A}$ 的转置 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 。

矩阵分块简化了很多计算

例如，用矩阵分块可以证明行列式的乘法定理. 首先给出一个定义。

矩阵的行列式

设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 是一个 $n$ 阶方阵, 则称

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

为方阵 $\mathbf{A}$ 的行列式，记为 $|\mathbf{A}|$ 或 $\det (\mathbf{A})$ 。

Example

例如, 矩阵 $\left(\begin{array}{rrr}3& 3& 2\\ 5& -5& 1\\ 5& 2& 5\end{array}\right)$ 的行列式就是 $\left|\begin{array}{rrr}3& 3& 2\\ 5& -5& 1\\ 5& 2& 5\end{array}\right|=-71$

Remark

注意 $n$ 阶方阵和 $n$ 阶行列式是两个不同的概念,

• 前者是 $n^2$ 个数按一定方式排成的一个数表
• 后者是这个数表按一定的运算法则所确定的一个数。

另外，由于行列式有 $n$ 行 $n$ 列，所以若矩阵 $\mathbf{A}$ 不是方阵，就不能对它取行列式。

Proposition

$n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的行列式有下列性质:

1. $\left|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right|=|\mathbf{A}|$ ，即方阵 $\mathbf{A}$ 的转置矩阵的行列式等于 $\mathbf{A}$ 的行列式；
2. $|k\mathbf{A}|=k^n|\mathbf{A}|$
3. $|\bar{A}|=\overline{|A|}$.

进一步有如下的定理:

定理 2.1.

矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，即如果 $A,B$ 是两个同阶的方阵，那么

$$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$$

\begin{proof} 设

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$$ $$\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n} \end{array}\right)$$

\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{n n} \end{array}\right)

其中 $$c_{i j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j}(i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, n)$$ 作分块矩阵

D=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & 0 \ -\boldsymbol{E} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)

$$-一方面，由行列式的拉普拉斯展开定理知$$

|D|=|A||B|

- 另一方面，对 $|\boldsymbol{D}|$ 进行下述变形： - 第 $n+1$ 列 加上 - 第 1 列的 $b_{11}$ 倍， - 第 2 列的 $b_{21}$ 倍， - $\cdots$ ， - 第 $n$ 列的 $b_{n 1}$ 倍 - 第 $n+2$ 列 加上 - 将其第 1 列的 $b_{12}$ 倍， - 第 2 列的 $b_{22}$ 倍， - $\cdots$ ， - 第 $n$列的 $b_{n 2}$ 倍 - $\cdots$ ； - 第 $2 n$ 列 加上 - 将其第 1 列的 $b_{1 n}$ 倍， - 第 2 列的 $b_{2 n}$ 倍， - $\cdots$ ， - 第 $n$ 列的 $b_{n n}$ 倍。 - 这样，就把 $|D|$ 变成了如下行列式

\begin{aligned} &\left|\begin{array}{cccccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{n n} \ -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right| \ = &\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \ -\boldsymbol{E} & 0 \end{array}\right|=\left|D_{1}\right| \end{aligned}

- 其中 $D_{1}=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ -E & 0\end{array}\right)$. - 首先，我们由行列式的性质知 $|D|=\left|D_{1}\right|$. - 又由行列式的拉普拉斯展开定理知

\begin{aligned} \left|\boldsymbol{D}_{1}\right| &=(-1)^{2 n^{2}+n}|\boldsymbol{C}||-\boldsymbol{E}| \ &=(-1)^{n}|\boldsymbol{C}|(-1)^{n} \ &=|\boldsymbol{C}| \end{aligned}

因此 $$|A B|=|C|=\left|D_{1}\right|=|D|=|A||B|$$ 结论成立. `\end{proof}`