习题二

1

计算下列矩阵:

1.1

$\left(\begin{array}{llll}2& 3& 1& 4\\ 3& 3& 4& 1\\ 2& 3& 3& 4\\ 4& 3& 4& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{llll}5& 3& 3& 2\\ 2& 4& 6& 3\\ 2& 5& 5& 1\\ 5& 5& 2& 5\end{array}\right)$

1.2

$\left(\begin{array}{ll}2& 4\\ 3& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}3& 2\\ 5& 5\end{array}\right)$

1.3

$\left(\begin{array}{lll}a& b& c\\ c& a& b\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}a& c& 1& 1\\ b& a& 1& 1\\ c& b& 1& 1\end{array}\right)$

1.4

${\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)}^3,{\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)}^n$

1.5

${\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)}^n$

2

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1p}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2p}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{np}\end{array}\right)$

3

令 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$, 计算

3.1

$A^2,A^3$ 和 $f(A)$ ，其中 $f(x)=x^3-3x^2-2x+2$

3.2

${\mathbf{A}}^5,{\mathbf{A}}^6$ 和 $g(\mathbf{A})$, 其中 $g(x)=x^8+2x^6+2x^4+x^2+1$

4

求与 $\left(\begin{array}{rr}3& 1\\ -2& 2\end{array}\right)$ 可交换的所有矩阵.

5

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{\mathbf{E}}_{n_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2{\mathbf{E}}_{n_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_r{\mathbf{E}}_{n_r}\end{array}\right)$,

• $a_i\ne a_j(i\ne j;i,j=1,2,\cdots ,r)$,
• ${\mathbf{E}}_{n_i}$ 是 $n_i$ 阶单位矩阵,
• ${\sum }_{i=1}^r{n}_i=n$.

证明: 与 $\mathbf{A}$ 可交换的矩阵只能是准对角矩阵 $\mathrm{diag}({\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\cdots$, ${\mathbf{A}}_r)$ ，其中 ${\mathbf{A}}_i$ 为 $n_i$ 阶方阵 $(i=1,2,\cdots ,r)$ 。

6

证明：与任意 $n$ 阶矩阵都可交换的矩阵 $\mathbf{A}$ 只能是数量矩阵，即 $\mathbf{A}=k\mathbf{E}$ 。

7

若 $AB=BA,AC=CA$, 证明:

• $A(B+C)=(B+C)A$,
• $A(BC)=(BC)A$.

8

若 $\mathbf{A}=\frac{1}{2}(\mathbf{B}+\mathbf{E})$ ， 证明： ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$ 当且仅当 ${\mathbf{B}}^2=\mathbf{E}$ 。

9

证明: 若 $\mathbf{A}$ 是实对称矩阵并且 $A^2=0$, 则 $\mathbf{A}=0$ 。

10

称矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ 为上三角形矩阵, 当 $n⩾i>j⩾1$ 时, $a_{ij}=0$; 称矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 为下三角形矩阵，当 $1⩽i<j⩽n$ 时， $a_{ij}=0$ 。 证明：同阶的两个上 （下）三角形矩阵的乘积还是上（下）三角形矩阵；可逆的上（下）三角形矩阵的逆还是上（下）三角形矩阵。

11

证明: 任一方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反称矩阵的和.

12

设 $A,B$ 为对称矩阵，试证明： $AB$ 也是对称矩阵当且仅当 $A,B$ 可交换。

13

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 对任意的 $n$ 维列向量 $\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}}$ 都有 $\mathbf{A}\mathbf{X}=0$, 证明: $A=0$.

14

用初等行变换把下列矩阵化成阶梯形矩阵:

14.1

$\left(\begin{array}{rrrr}1& 3& 5& -1\\ 2& -1& -3& 4\\ 5& 1& -1& 7\\ 7& 7& 9& 1\end{array}\right)$

14.2

$\left(\begin{array}{rrrrr}-3& 1& -3& 0& 5\\ 4& 3& 2& 3& 0\\ 6& -1& -5& 0& -7\\ 2& 5& 1& 4& 1\end{array}\right)$.

15

计算下列矩阵的秩, 如果矩阵为满秩, 计算出矩阵的逆:

15.1

$\left(\begin{array}{rrr}2& 0& 0\\ 0& 2& -1\\ 0& 3& 5\end{array}\right)$

15.2

$\left(\begin{array}{rrrr}3& 3& -1& 0\\ 0& 3& 4& -2\\ 3& 1& -1& -2\\ 2& -3& 2& 1\end{array}\right)$

15.3

$\left(\begin{array}{rrrr}2& 3& 4& 5\\ 1& 0& -4& 6\\ 1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$

15.4

$\left(\begin{array}{llll}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right)$;

15.5

$\left(\begin{array}{rrrr}2& 3& 2& 2\\ -1& -1& 0& -1\\ 2& 2& 2& 1\\ -6& 9& 3& 2\end{array}\right)$;

15.6

$\left(\begin{array}{rrrr}9& -12& 7& 18\\ 0& 1& 1& 1\\ 3& -12& 1& 0\\ -1& 4& 0& 1\end{array}\right)$.

16

求矩阵

$$\left(\begin{array}{cccccc}0& a_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& a_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{n-2}& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& a_{n-1}\\ a_n& 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

的逆，其中 $a_i\ne 0(i=1,2,\cdots ,n)$ 。

17

求矩阵 $X$, 使得

$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& \cdots & 1& 1\\ 0& 1& 1& \cdots & 1& 1\\ 0& 0& 1& \cdots & 1& 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right)\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cccccc}2& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\end{array}\right)$$

18

求下列方程组的唯一解:

18.1

$\{\begin{array}{rl}2x_1+3x_3& =1,\\ 3x_2-5x_3& =-4,\\ -2x_1+3x_2+2x_3& =4;\end{array}$

18.2

$\{\begin{array}{rl}2x_1+4x_2+3x_3& =-2,\\ 2x_1-3x_2& =0,\\ x_1+5x_3& =5.\end{array}$

19

设

• $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& -1\\ 3& 4& -2\\ 5& -3& 1\end{array}\right)$
• $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{rrr}3& 4& -2\\ 5& -3& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)$
• $\mathbf{C}=\left(\begin{array}{rrr}-1& 1& 2\\ -2& 3& 4\\ 1& 5& -3\end{array}\right)$

求

• $A^{-1}\mathbf{B}$
• ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{C}$ 。

20

已知 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrrrr}1& 2& -1& 0& 0& 0\\ 3& 4& -2& 0& 0& 0\\ 5& -3& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1& 4& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$, 用分块矩阵的方法求 ${\mathbf{A}}^2$.

21

求 $(k+l)\times (k+l)$ 矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_k& B\\ 0& {\mathbf{E}}_l\end{array}\right)$$

的逆，其中 ${\mathbf{E}}_k,{\mathbf{E}}_l$ 分别为 $k,l$ 阶单位矩阵， $\mathbf{B}$ 为 $k\times l$ 矩阵。

22

$A,B,C$ 为同阶方阵, 其中 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 可逆. 求

$$D=\left(\begin{array}{ll}0& A\\ B& C\end{array}\right)$$

的逆.

23

如果 ${\mathbf{A}}^k=0$, 证明 $(\mathbf{E}-\mathbf{A}{)}^{-1}=\mathbf{E}+\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2+\cdots +{\mathbf{A}}^{k-1}$ 。

24

设 $\mathbf{A}$ 为 $n(n⩾2)$ 阶方阵, 证明 $\left|{\mathbf{A}}^{\ast }\right|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$ 。