例题 5.1

Question

已知 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ 2& 1& -2\\ 2& -2& 1\end{array}\right)$, 求 $\mathbf{P}(3,1(2))\mathbf{A},\mathbf{A}\mathbf{P}(2,3),\mathbf{P}(3(3))\mathbf{A}$.

解 因为左乘 3 阶的 $\mathbf{P}(3,1(2))$ 相当于将矩阵 $\mathbf{A}$ 的第1行乘2后，再加到第 3 行，故

$$\mathbf{P}(3,1(2))\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ 2& 1& -2\\ 4& 2& 5\end{array}\right)$$

右乘 $\mathbf{P}(2,3)$ 相当于交换矩阵的第 2 列、第 3 列, 故

$$\mathbf{A}\mathbf{P}(2,3)=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ 2& -2& 1\\ 2& 1& -2\end{array}\right)$$

同样, 左乘 $\mathbf{P}(3(3))$ 相当于矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 3 行乘 3, 故

$$\mathbf{P}(3(3))\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ 2& 1& -2\\ 6& -6& 3\end{array}\right)$$

思考题

试计算 $\mathbf{A}\mathbf{P}(3,1(2))$, 它与 $\mathbf{P}(3,1(2))\mathbf{A}$ 有什么不同?