初等变换

初等变换

首先，我们讨论矩阵的初等变换。

定义 3.1. 初等行变换

对矩阵施行的下列三种变换称为 初等行变换:

1. 交换矩阵中的两行;
2. 用一个非零的数 $k(k\in F)$ 去乘矩阵某行的各元素;
3. 把矩阵某行各元素的 $k(k\in F)$ 倍加到另一行对应的元素上.

上面的三种变换分别叫做第 I 种、第 II 种、第 III 种初等行变换.

• 把其中的 “行” 字改为 “列” 字, 相应的变换称为 初等列变换.
• 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的 初等变换。

为了书写方便，引进记号:

1. 交换矩阵的 $i,j$ 行 (列)，记为 $r_i\leftrightarrow r_j\left(c_i\leftrightarrow c_j\right)$ ；
2. 用一个非零的数 $k\in F$ 去乘矩阵第 $i$ 行 (列), 记为 $k\times r_i\left(k\times c_i\right)$;
3. 把矩阵第 $j$ 行 (列) 的 $k$ 倍加到第 $i$ 行 (列) 上, 记为 $r_i+k{r}_j\left(c_i+k{c}_j\right)$.

显然, 若 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 经一次初等变换变成矩阵 $\mathbf{B}$, 则

• $\mathbf{B}$ 也是 $m\times n$ 矩阵,
• $\mathbf{B}$ 也可经一次初等变换变成 $\mathbf{A}$.