性质 3.2

性质3.2.

阶梯形矩阵的秩等于它非零行的数目。

\begin{proof} 在阶梯形矩阵 (3.1) 中，有前 $1, 2, \dots, r$ 行和第 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{r}$ 列构成的 $r$ 阶子式

a_{1 j_{1}} a_{1 j_{2}} a_{2 j_{2}} a_{1 j_{3}} a_{2 j_{3}} ⋱ \dots \dots a_{1 j_{r}} a_{2 j_{r}} ⋮ a_{r j_{r}} = a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{r j_{r}} \neq = 0

而所有阶大于等于 $r + 1$ 的子式全为 0 . 故其秩为非零行的个数 $r$ . \end{proof}

Youliang Zhong