矩阵的乘法

定义 1.6. (矩阵乘法)

设矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{sn},\mathbf{B}={\left(b_{kl}\right)}_{nm}$ ，则矩阵

$$C={\left(c_{ij}\right)}_{sm}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1m}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2m}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{s1}& c_{s2}& \cdots & c_{sm}\end{array}\right)$$

称为矩阵 $A$ 与 $B$ 的 乘积, 其中

$$\begin{array}{c}{c}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}\\ (i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,m)\end{array}$$

记作 $C=AB$.

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Remark

1. 要保证矩阵乘法有意义,

• 必须使第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等,
• 乘积 $C$ 的
  • 行数是第一个矩阵的行数,
  • 列数是第二个矩阵的列数.

2. 矩阵的乘法并不一定满足交换律，

• 即 $\mathbf{AB}=\mathbf{B}\mathbf{A}$ 不一定成立。

例题 1.2

Definition

如果 $\mathbf{AB}=\mathbf{B}\mathbf{A}$, 我们就称矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 可交换.

• 例题 1.3

在给出矩阵乘法定义后，下面我们可以归纳定义方阵的方幂。

Definition

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵，对正整数 $k$ ，归纳的定义 $A^1=A,A^k=A^{k-1}A,k=2,3,\cdots$ 即 ${\mathbf{A}}^k$ 表示 $k$ 个 $\mathbf{A}$ 相乘，称为方阵 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 次方幂。 特别地，定义 ${\mathbf{A}}^0={\mathbf{E}}_n$ 。

由乘法结合律，易知对任意非负整数 $k,\ell$ 有

$$A^k{A}^{\ell }=A^{k+\ell },{\left(A^k\right)}^{\ell }=A^{k\ell }$$

关于矩阵的乘法，有以下性质（当然，这里假定矩阵运算是有意义的）：

Proposition

1. 结合律: $A(BC)=(AB)C$;
2. 分配律: $(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC$;
3. $k(\mathbf{AB})=(k\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(k\mathbf{B}),k\in \mathbb{C}$;
4. 若 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵, $f(x),g(x)$ 为复系数的多项式, 则方阵 $\mathbf{A}$ 的多项式 $f(\mathbf{A})$ 和 $g(\mathbf{A})$ 的乘法满足交换律，即 $f(\mathbf{A})g(\mathbf{A})=g(\mathbf{A})f(\mathbf{A})$

这里, 需要说明方阵的多项式的概念. 设 $f(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 为 $m$ 次的复系数多项式, $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 称

$$f(\mathbf{A})=a_m{\mathbf{A}}^m+a_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{A}+a_0\mathbf{E}$$

为方阵 $A$ 的 $m$ 次多项式。

下面证明性质（1）和（4），其余的请读者自行证明。

\begin{proof} (1)

• 记 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{sn},\mathbf{B}={\left(b_{jk}\right)}_{nm},\mathbf{C}={\left(c_{k\ell }\right)}_{mt}$,
• 令
  • $\mathbf{U}=\mathbf{B}\mathbf{C}={\left(u_{j\ell }\right)}_{nt}$,
  • $\mathbf{V}=\mathbf{AB}={\left(v_{ik}\right)}_{sm}$ ，
• 则

$$\begin{array}{rl}& u_{j\ell }=\sum _{k=1}^m{b}_{jk}{c}_{k\ell }(j=1,2,\cdots ,n;\ell =1,2,\cdots ,t)\\ & v_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}(i=1,2,\cdots ,s;k=1,2,\cdots ,m)\end{array}$$

• 且 $A(BC)$ 和 $(AB)C$ 都是 $s\times t$ 矩阵。

• 由矩阵乘法定义可知

$A(BC)=AU$ 的 $(i,\ell )$ 位置上的元素为

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{u}_{j\ell }=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\left(\sum _{k=1}^m{b}_{jk}{c}_{k\ell }\right)=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{k\ell }$$

- $$(A B) C=V C$$

的 $(i,\ell )$ 位置上的元素为

$$\sum _{k=1}^m{v}_{ik}{c}_{kl}=\sum _{k=1}^m\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}\right)c_{k\ell }=\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{kl}$$

• 而

$$\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{k\ell }=\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{k\ell }$$

• 即得 $A(BC)=AU$ 的 $(i,\ell )$ 位置上的元素和 $(AB)C=VC$ 的 $(i,\ell )$ 位置上的元素相等,
• 那么结论 (1) 成立. \end{proof}

\begin{proof} (4) 设

\begin{aligned} f(x) &=a_{p} x^{p}+a_{p-1} x^{p-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}, \\ g(x) &=b_{q} x^{q}+b_{q-1} x^{q-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0} \end{aligned} $$ 分别为 $p, q$ 次复系数多项式, 则

\begin{aligned} & f(\boldsymbol{A})=a_{p} \boldsymbol{A}^{p}+a_{p-1} \boldsymbol{A}^{p-1}+\cdots+a_{0} \boldsymbol{E}=\sum_{j=0}^{p} a_{j} \boldsymbol{A}^{j} \ & g(\boldsymbol{A})=b_{q} \boldsymbol{A}^{q}+b_{q-1} \boldsymbol{A}^{q-1}+\cdots+b_{0} \boldsymbol{E}=\sum_{k=0}^{q} b_{k} \boldsymbol{A}^{k} \end{aligned}

那么 $f(\boldsymbol{A}) g(\boldsymbol{A})$ 是关于 $\boldsymbol{A}$ 的一个 $p+q$ 次多项式，且

\begin{aligned} f(\boldsymbol{A}) g(\boldsymbol{A}) &=\left(\sum_{j=0}^{p} a_{j} \boldsymbol{A}^{j}\right)\left(\sum_{k=0}^{q} b_{k} \boldsymbol{A}^{k}\right) \ &=\sum_{j=0}^{p} \sum_{k=0}^{q} a_{j} b_{k} \boldsymbol{A}^{j+k} \ &=\sum_{i=0}^{p+q}\left(\sum_{j+k=i} a_{j} b_{k}\right) \boldsymbol{A}^{i} \end{aligned}

$$同理可得$$

g(\boldsymbol{A}) f(\boldsymbol{A})=\sum_{i=0}^{p+q}\left(\sum_{j+k=i} a_{j} b_{k}\right) \boldsymbol{A}^{i}

所以 $$f(\boldsymbol{A}) g(\boldsymbol{A})=g(\boldsymbol{A}) f(\boldsymbol{A}) .$$ `\end{proof}`