矩阵的共轭

定义 1.8.

设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的矩阵,

• 用 $\overline{a_{ij}}$ 表示 $a_{ij}$ 的共轭复数,
• 称 $\overline{\mathbf{A}}={\left(\overline{a_{ij}}\right)}_{mn}$ 是 $\mathbf{A}$ 的共轭矩阵，其中

$$\overline{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}\overline{a_{11}}& \overline{a_{12}}& \dots & \overline{a_{1n}}\\ \overline{a_{21}}& \overline{a_{22}}& \dots & \overline{a_{2n}}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \overline{a_{m1}}& \overline{a_{m2}}& \dots & \overline{a_{mn}}\end{array}\right).$$

由定义可知，

• $(\overline{\mathbf{A}}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}}$ ，
• 复矩阵 $\mathbf{A}$ 是实矩阵 当且仅当 $\overline{\mathbf{A}}=\mathbf{A}$ 共轭矩阵有下列性质:

1. $\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$;
2. $\overline{k\mathbf{A}}=\bar{k}\overline{\mathbf{A}}$;
3. $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$.