矩阵的加法

定义 1.4.

设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn},\mathbf{B}={\left(b_{kl}\right)}_{mn}$ 是两个 $m\times n$ 矩阵, 则

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}+\mathbf{B}& =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right).\end{array}$$

Remark

两个矩阵可以相加的条件是两个矩阵的行数和列数都分别相等.

有了矩阵的加法，很容易定义矩阵的减法，即矩阵

$$A-B=A+(-B)$$

同样，我们很容易得到矩阵加法的性质. 设 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ 是三个 $m\times n$ 矩阵，那么其满足:

1. 交换律: $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$;
2. 结合律: $\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})=(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}$;
3. $A+0=A$;
4. $\mathbf{A}+(-\mathbf{A})=0$.