矩阵的数乘

定义 1.5.

设

• $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵,
• $k$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 中的一个数.

矩阵

$$\left(\begin{array}{cccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& \cdots & k{a}_{1n}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& \cdots & k{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{m1}& k{a}_{m2}& \cdots & k{a}_{mn}\end{array}\right)$$

称为 $\mathbf{A}$ 与 $k$ 的 数量乘积, 简称 数乘,

• 记作 $k\mathbf{A}$ 或 $\mathbf{A}k$.
• 特别地, 称矩阵

$$k\mathbf{E}=\left(\begin{array}{llll}k& & & \\ & k& & \\ & & \ddots & \\ & & & k\end{array}\right)$$

• 为 数量矩阵。

由定义可知，

• 一个数乘一个矩阵，就是将矩阵的每个元素都乘这个数，
• 在这里要注意与行列式数乘的区别. 此外, 很容易验证矩阵的数乘有以下性质.

设

• $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是两个 $m\times n$ 矩阵
• $k,\ell$ 是 $\mathbb{C}$ 中的两个数,

那么其满足:

1. 结合律: $k(\ell \mathbf{A})=(k\ell )\mathbf{A}$;
2. 分配律:
   • $(k+\ell )\mathbf{A}=k\mathbf{A}+\ell \mathbf{A}$
   • $k(\mathbf{A}+\mathbf{B})=k\mathbf{A}+k\mathbf{B}$;
3. $1A=A$
4. $k\mathbf{A}=0⟺k=0$ 或 $\mathbf{A}=0$.