矩阵的转置

定义 1.7.

将矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列互换得到的矩阵称为 $\mathbf{A}$ 的 转置矩阵, 记作 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$. 即设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ ，则

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)={\left(a_{ji}\right)}_{nm}$$

${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 还可以用 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ 来表示.

Definition

当 $\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 时, 我们称 $\mathbf{A}$ 为 对称 矩阵; 当 $\mathbf{A}=-{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$时, 称 $\mathbf{A}$ 为 反称 矩阵.

矩阵的转置有下列性质:

1. ${\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}$;
2. $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$;
3. $(k\mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}=k{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$;
4. $(\mathbf{AB}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$.

性质 (1) — (3) 易证，下面证明 (4). \begin{proof}

• 设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{sn},\mathbf{B}={\left(b_{jk}\right)}_{nm}$ ，

• 则 $(\mathbf{AB}{)}^{\mathrm{T}}$ 和 ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 都是 $m\times s$ 矩阵。

• 其次, $(AB{)}^{\mathrm{T}}$ 的 $(i,j)$ 元素就是 $\mathbf{AB}$ 的 $(j,i)$ 元素, 故等于

$$a_{j1}{b}_{1i}+a_{j2}{b}_{2i}+\cdots +a_{jn}{b}_{ni}$$

• ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的 $(i,j)$ 元素等于 ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$ 的第 $i$ 行元素与 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的第 $j$ 列对应元素乘积的和,
• 故等于 $B$ 的第 $i$ 列元素与 $A$ 的第 $j$ 行对应元素乘积的和，即

$$b_{1i}{a}_{j1}+b_{2i}{a}_{j2}+\cdots +b_{ni}{a}_{jn}$$

• 两式显然相等, 故 $(AB{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ \end{proof}