3.1.1. 向量的基本概念

• 既有大小又有方向的量称为向量 (或矢量).

  • 向量通常用
    • 小写英文黑斜体字母 $a,b,c,\cdots$ 表示
    • 英文大写字母 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},\cdots$ 表示.
  • 向量的大小也称为向量的长度.
    • 向量 $\mathbf{a}$ 的长度记作 $\left|\mathbf{a}\right|$ .

• 一个向量 $a$ 也可以用一条有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 来表示,

  • 有向线段的 起点 和 终点 分别称为向量的起点和终点.
  • 向量的方向由起点指向终点.
  • 我们用这条线段的长度 $\left|AB\right|$ 来表示向量 $\mathbf{a}$ 的长度.

• 对于两个向量, 若用同一起点的有向线段表示, 它们在同一条直线上, 且两个终点位于起点的 同 (异) 侧 时, 则称这两个向量方向 相同 (反).

• 长度等于 1 的向量称为单位向量.

• 长度等于 0 的向量称为零向量, 记作 0 .

  • 零向量的方向不确定.

• 若两个向量 $a$ 和 $b$ 的

  • 方向相同
  • 长度相等,
  • 则称之为 相等 的向量,
    • 记作 $a=b$

• 当我们只考虑向量的方向和大小, 而 不考虑其具体位置 时, 这样的向量称为自由向量.

  • 自由向量的起点可以任意选取.
  • 自由向量可以任意平行移动.

• 若两个向量的方向相反且长度相等, 则称它们是 互为相反的 向量 (或互为逆向量).

  • 向量 $\mathbf{a}$ 的逆向量记为 $-\mathbf{a}$ .

• 若两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在的直线平行 (垂直),

  • 则称这两个向量为共线的或平行的 (垂直的) 向量,
  • 记作 $\mathbf{a}//\mathbf{b}$ ( $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ ).

• 若一组向量所在的直线都平行于同一平面,

  • 则称这组向量是 共面的 向量.
  • 规定零向量与任何向量共线,
  • 也与任何向量垂直.
  • 显然, 共线的向量必共面, 任意两个向量必共面.

• 需要注意的是, 上述向量的共线和共面是符合实际需要的数学概念,

  • 与直观的共线 (即在一条直线上) 和共面 (即在一个平面上) 有所不同,
  • 原因在于所讨论的向量是自由向量.