3.1.2. 向量的线性运算

我们知道,接连作两次位移 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 的效果是作出位移 $\overrightarrow{AC}$ (如图 3.1). 借助这个背景, 我们可定义向量的加法.

图 3.1

定义 1.1.

向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的和记作 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ,是按如下的 “三角形法则” 或 “平行四边形法则” 所确定的向量, 也就是

1. 三角形法则. 作有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 表示 $\mathbf{a}$ ,作有向线段 $\overrightarrow{BC}$ 表示 $\mathbf{b}$ ,则 $\overrightarrow{AC}=$ $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ (如图 3.1 所示).
2. 平行四边形法则. 从同一起点 $O$ 作 $\overrightarrow{OA}$ 表示 $\mathbf{a}$ ,作 $\overrightarrow{OB}$ 表示 $\mathbf{b}$ ,再以 $OA$ 和 $OB$ 为邻边作平行四边形 $OACB$ ,则对角线 $\overrightarrow{OC}$ 表示的向量就是 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ,即 $\overrightarrow{OC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ (如图 3.2 所示).

求向量和的运算称为向量的加法运算. 向量的减法定义为 $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+\left(-\mathbf{b}\right)$ .

图 3.2

定义 1.2.

实数 $\lambda$ 和向量 $\mathbf{a}$ 的乘积 $\lambda \mathbf{a}$ 是一个向量,长度为 $\left|\lambda \mathbf{a}\right|=\left|\lambda \right|\left|\mathbf{a}\right|$ , 方向:

• 当 $\lambda >0$ 时 $\lambda a$ 与 $a$ 同向,
• 当 $\lambda <0$ 时 $\lambda a$ 与 $a$ 反向.

对于任意向量 $\mathbf{a}$ ,由于 $\left|0\mathbf{a}\right|=\left|0\right|\left|\mathbf{a}\right|=0$ ,所以 $0\mathbf{a}=0$ . 同理,对于一切实数 $\lambda$ ,都有 $\lambda 0=0$ .

数与向量的乘积运算称为向量的数乘运算, 向量的加法和数乘这两种运算统称为向量的 线性运算.

设 $\lambda ,\mu$ 是实数, $a,b,c$ 是任意三个向量. 由定义容易验证向量的线性运算满足以下运算规律:

1. $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$
2. $\left(\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)+\mathbf{c}=\mathbf{a}+\left(\mathbf{b}+\mathbf{c}\right)$ ;
3. $\mathbf{a}+0=\mathbf{a}$ ;
4. $\mathbf{a}+\left(-\mathbf{a}\right)=0$ ;
5. $\lambda \left(\mu a\right)=\mu \left(\lambda a\right)=\left(\lambda \mu \right)a$
6. $1a=a$ 且 $\left(-1\right)a=-a$ ;
7. $\lambda \left(\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)=\lambda \mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}$
8. $\left(\lambda +\mu \right)\mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{a}$ .

由于向量的加法满足交换律和结合律,所以三个向量 $a,b,c$ 的和可以简记为 $a+b+c$ . 由三角形法则易知, $a+b+c$ 是一个以 $a$ 的起点为起点,以 $c$ 的终点为终点的向量. 这个结论可以推广到一般 $n$ 个向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\left(n\ge 2\right)$ 的和 ${\mathbf{a}}_1+{\mathbf{a}}_2+\cdots +{\mathbf{a}}_n$ .

对于向量 $a$ 和 $b$ ,约定 $a$ 和 $b$ 的 夹角 $⟨a,b⟩$ 是指 不大于 $\pi$ 的角, 即 $0\le$ $⟨a,b⟩\le \pi$

设向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$ 且 $\mathbf{b}\ne 0$ ,称 $\left|\mathbf{a}\right|\cos \theta$ 为向量 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的 投影 ,记作 ${\Pi }_{b}a$ ,即

$${\Pi }_{b}a=\left|a\right|\cos \theta .$$

把 ${\Pi }_{b}a$ 与 $b$ 方向上单位向量的乘积 ${\Pi }_{b}a\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ 称为向量 $a$ 在 $b$ 上的 投影向量. 显然,投影向量的长度为 $\left|\mathbf{a}\right|\left|\cos \theta \right|$ .

设 $c\ne 0$ ,易验证向量的投影具有下列性质:

1. 对于任意实数 $\lambda$ ,都有 ${\Pi }_{\mathbf{c}}\left(\lambda \mathbf{a}\right)=\lambda {\Pi }_{\mathbf{c}}\mathbf{a}$ ;
2. ${\Pi }_c\left(a+b\right)={\Pi }_{c}a+{\Pi }_{c}b$ .

上面的性质表明, 对向量先进行线性运算再投影相当于对向量先投影再进行线性运算. 换言之, 就是对向量的投影保持向量的线性关系不变.