3.3.4. 平面的三点式方程

在几何上, 可用不共线的三点确定唯一的一个平面. 下面建立过不共线三点 $P_1\left(x_1,y_1,z_1\right)$, $P_2\left(x_2,y_2,z_2\right)$, $P_3\left(x_3,y_3,z_3\right)$ 的平面方程.

设 $P\left(x,y,z\right)$ 为平面上的任意一点, 显然向量 $\overrightarrow{P_{1}P}$, $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 和 $\overrightarrow{P_1{P}_3}$ 的坐标分别为

• $\left(x-x_1,y-y_1,z-z_1\right)$,
• $\left(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1\right)$
• $\left(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1\right)$ .

由于这三个向量共面, 所以它们的混合积为零. 于是

$$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$$

这就是由三点 $P_1$, $P_2$ 和 $P_3$ 所确定的平面方程,称为平面的 三点式方程.