3.4.3. 直线与平面间的关系

上一节的同轴平面束表明了直线与多个平面的一种关系. 下面以向量为工具讨论一条直线 $l$ 与一个平面 $\pi$ 之间的关系. 设

$$l:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$ $$\pi :Ax+By+Cz+D=0.$$

它们的方向向量和法向量分别为 $\mathbf{s}=\left(m,n,p\right)$ 和 $\mathbf{n}=\left(A,B,C\right)$ .

1. $l$ 在 $\pi$ 上
   • $s\perp n$ (即 $s\cdot n=0$ ) 得 $mA+nB+pC=0$
   • 点 $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 满足 $\pi$ 的方程得 $A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$
2. $l$ 与 $\pi$ 平行
   • $s\perp n$ 得 $mA+nB+pC=0$
   • 点 $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 不满足 $\pi$ 的方程得 $A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\ne 0$
3. $l$ 与 $\pi$ 相交 $\iff s$ 与 $\mathbf{n}$ 不垂直 得 $mA+nB+pC\ne 0$
4. $l$ 与 $\pi$ 垂直 $\iff s//n$ (即 $s\times n=0$ ) 得 $\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$