习题三

1

判别下列等式何时成立

1.1

$\left|a+b\right|=\left|a-b\right|$

1.2

$\left|a+b\right|=\left|a\right|+\left|b\right|$ .

2

设 $M$ 是线段 $AB$ 的中点, $O$ 是空间任意点,证明:

$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$$

3

在同一个空间直角坐标系中标出点 $A\left(2,4,-1\right)$ 和点 $B\left(-2,4,1\right)$ ,并求点 $A$ 关于 $xOy$ 平面的对称点的坐标及点 $B$ 关于 $y$ 轴对称点的坐标.

4

已知向量 $a=3i+5j+4k,b=-6i+j+2k,c=4i-3j-4k$ 求 $2a+3b+4c$ .

5

求向量 $\mathbf{a}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ 的长度和方向余弦.

6

对于下列向量 $a$ 和 $b$ ,求 $a$ 和 $b$ 的内积:

6.1

$\left|a\right|=8,\left|b\right|=5,a$ 与 $b$ 夹角 $\theta =\frac{\pi }{3}$ ;

6.2

$\left|\mathbf{a}\right|=3,\left|\mathbf{b}\right|=2,\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 反向.

7

若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 是互相垂直的三个非零单位向量,求 $\mathbf{r}=n\mathbf{a}+l\mathbf{b}+m\mathbf{c}$ 的长度.

8

在空间直角坐标系中, $\mathbf{a}=3\mathbf{i}-6\mathbf{k},\mathbf{b}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}$ ,求 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 及 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角.

9

化简下列向量表达式:

9.1

$\left(a+b\right)\times \left(a-2b\right)$ ;

9.2

$\left(2a+b\right)\times \left(3a-2b\right)$ .

10

已知 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}-2\mathbf{b},\overrightarrow{AD}=\mathbf{a}-3\mathbf{b}$ ,其中 $\left|\mathbf{a}\right|=5,\left|\mathbf{b}\right|=3,\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{6}$ ,求平行四边形 $ABCD$ 的面积.

11

设向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{a}=2i+3j+\mathbf{k}$ 和 $\mathbf{b}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ 都垂直,而与 $\mathbf{c}=2\mathbf{i}+2\mathbf{k}$ 的内积为 -10,求 $\mathbf{x}$ .

12

设 $\mathbf{a}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ 和 $\mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j},\mathbf{c}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ ,求 $\left(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)$ .

13

判断下列 $A,B,C$ 三点是否共线:

13.1

$A\left(1,2,3\right),B\left(0,3,7\right),C\left(3,5,11\right)$ ;

13.2

$A\left(0,1,2\right),B\left(1,3,1\right),C\left(3,7,-1\right)$ .

14

利用向量的混合积证明 $A\left(1,0,1\right),B\left(2,4,6\right),C\left(3,-1,2\right)$ 和 $D\left(6,2,8\right)$ 四点共面.

15

求下列平面的法向量:

15.1

$3x-2y+5z-1=0$ ;

15.2

$x-y=0$ .

16

求过点 $M_0\left(2,9,-6\right)$ 且与连接坐标原点 $O$ 及点 $M_0$ 的线段 $O{M}_0$ 垂直的平面方程.

17

求过三点 $\left(1,1,-1\right)\text{、}\left(-2,-2,2\right)$ 和 $\left(1,-1,2\right)$ 的平面方程.

18

求过点 $\left(3,0,-1\right)$ 且与平面 $3x-7y+5z-12=0$ 平行的平面方程.

19

求过点 $\left(1,0,-1\right)$ 且平行于向量 $a=2i+j+k$ 和 $b=i-j$ 的平面方程.

20

求过点 $\left(4,0,-2\right)$ 和点 $\left(5,1,7\right)$ 且平行于 $x$ 轴的平面方程.

21

求过点 $\left(1,2,1\right)$ 及 $z$ 轴的平面方程.

22

已知两平面

$$x-2y+3z+D=0$$

和

$$-2x+4y+Cz+6=0.$$

问: 当 $C$ 和 $D$ 为何值时,(1) 两平面平行? (2) 两平面重合?

23

求过点 $\left(1,1,1\right)$ 且垂直于平面

$$x-y+z=7$$

和

$$3x+2y-12z+5=0$$

的平面方程.

24

证明: 不在同一条直线上的三点 $\left(x_1,y_1,z_1\right)$ , $\left(x_2,y_2,z_2\right)$ 和 $\left(x_3,y_3,z_3\right)$ 所确定的平面方程为

$$\left|\begin{array}{cccc}1& x& y& z\\ 1& x_1& y_1& z_1\\ 1& x_2& y_2& z_2\\ 1& x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0.$$

25

求下列直线的对称式方程:

25.1

平行于 $\mathbf{a}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ ,经过点 $P\left(1,0,-2\right)$ ;

25.2

经过点 $A\left(1,0,-1\right)$ 和点 $B\left(1,1,3\right)$ ;

25.3

经过点 $A\left(2,3,-5\right)$ 且与直线 $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{4}$ 平行;

25.4

经过点 $P_0\left(3,1,2\right)$ 且平行于平面 $x+y+z+3=0$ 和 $y-z+1=0$ .

26

判断下列直线与平面的位置关系, 若有交点求出交点坐标:

26.1

$\frac{x-5}{2}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-1}{3}$ 和 $x+2y-5z-11=0$ ;

26.2

$\frac{x-13}{8}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{3}$ 和 $x+2y-4z+1=0$ .

27

求下列平面的方程:

27.1

过直线 $\{\begin{array}{l}x=2+3t,\\ y=2+t,\\ z=1+2t\end{array}$ 和点 $\left(1,2,-1\right)$ ;

27.2

过点 $\left(1,1,1\right)$ 且与直线 $\{\begin{array}{ll}2x+y+z& =3,\\ 2x+3y-z& =1\end{array}$ 垂直;

27.3

过直线 $\{\begin{array}{ll}x+3y-z& =0,\\ x-y+z+1& =0\end{array}$ 且与平面 $x+2z=1$ 垂直.

28

证明下列两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 共面,并求它们所在的平面的方程.

$$l_1:\frac{x-7}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-2},l_2:\{\begin{array}{l}x=1+2t,\\ y=-2-3t,\\ z=5+4t.\end{array}$$

29

求直线 $\{\begin{array}{c}x+y+3z=0,\\ x-y-z=0\end{array}$ 与平面 $x-y-z+1=0$ 的夹角.

30

求点 $\left(1,2,1\right)$ 到平面 $x+2y+2z=10$ 的距离.

31

求下列平行平面间的距离:

31.1

${\pi }_1:x-2y-2z=12,{\pi }_2:x-2y-2z=6$ ;

31.2

${\pi }_1:6x-18y-9z=28,{\pi }_2:4x-12y-6z=7$ .

32

求平行于平面 $x+2y-2z=1$ 且与其距离为 2 的平面方程.