例题 4.3

Question

将直线的一般式方程

$$\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x+y-2z=2\end{array}$$

化为对称式方程.

解 先求直线上一点. 令 $z=0$ ,由

$$\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=2\end{array}$$

求得 $x=y=1$ . 因此,点 $\left(1,1,0\right)$ 是直线上的一点.

再求直线的方向向量 $s$ . 由于这条直线是法向量分别为 $n_1=\left(1,-1,1\right)$ 和 ${\mathbf{n}}_2=\left(1,1,-2\right)$ 的两个平面的交线, 所以 $\mathbf{s}\perp {\mathbf{n}}_1$ 且 $\mathbf{s}\perp {\mathbf{n}}_2$ . 取

$$s={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=\left|\begin{array}{rrr}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right|=\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}.$$

因此, 该直线的对称式方程为

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}$$