例题 4.6

Question

求两条平行直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的距离 $d\left(l_1,l_2\right)$ ,其中

$$l_1:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{2}$$ $$l_2:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-2}{4}.$$

解 $l_1$ 的方向向量为 $s_1=\left(1,2,2\right),l_2$ 的方向向量为 $s_2=\left(2,4,4\right)$ . 在 $l_1$ 上取一点 $P_1\left(0,2,1\right)$ ,在 $l_2$ 上取一点 $P_2\left(1,2,2\right)$ ,则 $d\left(l_1,l_2\right)=d\left(P_2,l_1\right)$ . 由 $\overrightarrow{P_1{P}_2}=\mathbf{i}+\mathbf{k}$

可得

$$s_1\times \overrightarrow{P_1{P}_2}=\left|\begin{array}{lll}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$$

再由 $\left|s_1\times \overrightarrow{P_1{P}_2}\right|=3$ 及 $\left|s_1\right|=3$ 可得

$$d\left(P_2,l_1\right)=\frac{\left|{\mathbf{s}}_1\times \overrightarrow{P_1{P}_2}\right|}{\left|{\mathbf{s}}_1\right|}=\frac{3}{3}=1.$$

因此, $d\left(l_1,l_2\right)=1$ .