例题 1.2

解非齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5& =2\\ 2x_1+3x_2+x_3+x_4-3x_5& =0\\ x_1+2x_3+2x_4+6x_5& =6\\ 4x_1+5x_2+3x_3+3x_4-x_5& =4\end{array}$$

解

$$\begin{array}{rl}\tilde{\mathbf{A}}& =\left(\begin{array}{rrrrrr}1& 1& 1& 1& 1& 2\\ 2& 3& 1& 1& -3& 0\\ 1& 0& 2& 2& 6& 6\\ 4& 5& 3& 3& -1& 4\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{rrrrrr}1& 1& 1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& -1& -5& -4\\ 0& -1& 1& 1& 5& 4\\ 0& 1& -1& -1& -5& -4\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{rrrrrr}1& 1& 1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& -1& -5& -4\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=\tilde{\mathbf{B}}.\end{array}$$

以 $\tilde{B}$ 为增广矩阵的方程组为

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5& =2\\ x_2-x_3-x_4-5x_5& =-4\end{array}$$

任给 $x_3,x_4,x_5$ 一组值,就唯一定出 $x_1,x_2$ 的值,也就是定出方程组的一个解. 因此,我们可以把 $x_1,x_2$ 通过 $x_3,x_4,x_5$ 表示出来,即方程组的一般解为

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2x_3-2x_4-6x_5+6\\ x_2=x_3+x_4+5x_5-4\end{array}$$

其中 $x_3,x_4,x_5$ 为任意常数,称为自由未知量. 若令 $x_3=k_1,x_4=k_2,x_5=k_3$ ,则解也可以写为

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2k_1-2k_2-6k_3+6\\ x_2=k_1+k_2+5k_3-4\\ x_3=k_1\\ x_4=k_2\\ x_5=k_3\end{array}$$

或 $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)=\left(-2k_1-2k_2-6k_3+6,k_1+k_2+5k_3-4,k_1,k_2,k_3\right)$ ,这里 $k_1,k_2,k_3$ 为任意常数.