例题 4.3 过渡矩阵的求解

Question

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中,求由基 ${\alpha }_1=\left(-3,1,-2\right)$, ${\alpha }_2=\left(1,-1,1\right)$, ${\alpha }_3=\left(2,3,-1\right)$ 到基 ${\beta }_1=\left(1,1,1\right)$, ${\beta }_2=\left(1,2,3\right)$, ${\beta }_3=\left(2,0,1\right)$ 的过渡矩阵.

解

要求基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的过渡矩阵, 需要把 ${\beta }_i\left(i=1,2,3\right)$ 表示为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的线性组合, 直接计算是比较麻烦的. 这里我们借助由标准基 ${\epsilon }_1=\left(1,0,0\right),{\epsilon }_2=\left(0,1,0\right),{\epsilon }_3=\left(0,0,1\right)$ 到这两组基的过渡矩阵来计算. 由于

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1& =-3{\epsilon }_1+{\epsilon }_2-2{\epsilon }_3,\\ {\alpha }_2& ={\epsilon }_1-{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,\\ {\alpha }_3& =2{\epsilon }_1+3{\epsilon }_2-{\epsilon }_3.\end{array}$$

所以 $\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3\right)\mathbf{A}$ . 这里

$$A=\left(\begin{array}{rrr}-3& 1& 2\\ 1& -1& 3\\ -2& 1& -1\end{array}\right)$$

为基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 到基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的过渡矩阵. 同理,有 $\left({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3\right)\mathbf{B}$ , 这里

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1& 1& 2\\ 1& 2& 0\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$$

为基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的过渡矩阵, 因为过渡矩阵是可逆的, 所以

$$\begin{array}{rl}\left({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\right)& =\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3\right)\mathbf{B}\\ & =\left(\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right){\mathbf{A}}^{-1}\right)\mathbf{B}\\ & =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)\left({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\right).\end{array}$$

上式表明,由基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的过渡矩阵为

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\\ & ={\left(\begin{array}{rrr}-3& 1& 2\\ 1& -1& 3\\ -2& 1& -1\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{lll}1& 1& 2\\ 1& 2& 0\\ 1& 3& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{rrr}-6& -19& -1\\ -13& -42& -1\\ -2& -7& 0\end{array}\right).\end{array}$$