例题 5.1

例题 5.1

求下列矩阵的行秩和列秩

$$A=\left(\begin{array}{rrrr}1& 1& 3& 1\\ 0& 2& -1& 4\\ 0& 0& 0& 5\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

解 矩阵 $\mathbf{A}$ 的行向量组是

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1& =(1,1,3,1),\\ {\alpha }_2& =(0,2,-1,4),\\ {\alpha }_3& =(0,0,0,5),\\ {\alpha }_4& =(0,0,0,0).\end{array}$$

下面证明 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是行向量组的极大线性无关组. 若

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=0$$

即

$$\left(k_1,k_1+2k_2,3k_1-k_2,k_1+4k_2+5k_3\right)=0,$$

由此可得 $k_1=k_2=k_3=0$ , 因此 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关. 由于 ${\alpha }_4$ 为零向量, 将它添进去就线性相关. 故向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 的秩是 3, 即 $\mathbf{A}$ 的行秩是 3 .

$A$ 的列向量组是

$${\beta }_1=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\beta }_3=\left(\begin{array}{r}3\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\beta }_4=\left(\begin{array}{l}1\\ 4\\ 5\\ 0\end{array}\right).$$

同理可证, ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_4$ 线性无关而 ${\beta }_3=\frac{7}{2}{\beta }_1-\frac{1}{2}{\beta }_2$ , 所以 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_4$ 是列向量组的极大线性无关组,即 $\mathbf{A}$ 的列秩为 3.