习题五

1

求下列矩阵的特征值和特征向量:

1.1

$\left(\begin{array}{rrr}2& 0& 0\\ 1& 2& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

1.2

$\left(\begin{array}{rrr}3& 2& -1\\ -2& -2& 2\\ 3& 6& -1\end{array}\right)$

1.3

$\left(\begin{array}{rrr}-12& 37& 11\\ -5& 15& 4\\ 3& -8& -1\end{array}\right)$

1.4

$\left(\begin{array}{llll}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$ .

2

求下列 $n$ 阶矩阵的特征值和特征向量:

2.1

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right)$

2.2

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right)$ .

3

设 $\lambda$ 是 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{A}$ 的一个特征值, $\alpha$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量. 证明 $\frac{|A|}{\lambda }$ 是 $A^{\ast }$ 的一个特征值, $\alpha$ 也是 $A^{\ast }$ 属于此特征值的一个特征向量.

4

已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& 4& 2\\ 0& -3& 4\\ 0& 4& 3\end{array}\right)$, 求 ${\mathbf{A}}^k$, 其中 $k$ 为正整数.

5

设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的两个不同的特征值, ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别是属于 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量. 试证: ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 一定不是 $\mathbf{A}$ 的特征向量.

6

设矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}3& 2& 2\\ 2& 3& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right),\mathbf{C}=\left(\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\mathbf{A}={\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{B}}^{\ast }\mathbf{C}$ ,其中 ${\mathbf{B}}^{\ast }$ 为 $\mathbf{B}$ 的伴随矩阵. 求 $\mathbf{A}+2\mathbf{E}$ 的特征值和特征向量.

7

试证对于可逆矩阵 $A,B$ ,有 $AB\sim BA$ .

8

只与其自身相似的矩阵具有什么样的形式?

9

下列矩阵 $\mathbf{A}$ 能否对角化? 在能对角化的情况下, 试求出能使 ${\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT}$ 成对角矩阵的可逆矩阵 $\mathbf{T}$ .

9.1

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& -1& 1\\ 1& 3& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

9.2

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

9.3

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}2& 5& -1\\ -1& -3& 0\\ 2& 3& -2\end{array}\right)$

9.4

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}3& -2& -4\\ 7& -5& -10\\ -3& 2& 3\end{array}\right)$ .

10

矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}3& 2& -1\\ -2& a& 2\\ 3& 6& -1\end{array}\right)$ 与矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{rrr}-4& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 相似, 试求 $a,b$ 的值.

11

已知 $\lambda =1$ 是矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& t\\ 1& t& t+1\end{array}\right)$ 的二重特征值, 求 $t$ 的值, 并求是否存在可逆矩阵 $\mathbf{T}$ 使得 ${\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT}$ 为对角矩阵.

12

设 $\mathbf{A}$ 是 $n\left(n\ge 3\right)$ 阶矩阵,如果 $\mathbf{A}\ne 0$ ,但 ${\mathbf{A}}^3=0$ ,试证明 $\mathbf{A}$ 不可对角化.

13

具有相同特征值的矩阵的可对角化性不一定相同. 试判断下面两个矩阵能否对角化.

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2& 0& 1\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{rrr}2& -1& -3\\ 0& 4& 6\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

14

求出能使下列矩阵 $\mathbf{A}$ 相似于对角矩阵的正交矩阵 $\mathbf{T}$ :

14.1

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}6& 2& 4\\ 2& 3& 2\\ 4& 2& 6\end{array}\right)$

14.2

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}2& 2& -2\\ 2& 5& -4\\ -2& -4& 5\end{array}\right)$

14.3

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrr}4& -1& -1& 1\\ -1& 4& 1& -1\\ -1& 1& 4& -1\\ 1& -1& -1& 4\end{array}\right)$

14.4

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrr}1& -1& 3& -2\\ -1& 1& -2& 3\\ 3& -2& 1& -1\\ -2& 3& -1& 1\end{array}\right)$ .

15

试证明: 设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵, 且 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$ , 则存在正交矩阵 $\mathbf{T}$ ,使得

$$T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

其中 $r$ 为秩, ${\mathbf{E}}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵.

16

设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{r}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $\mathbf{AX}=\alpha$ 有解, 但不唯一. 试求:

16.1

$a$ 的值;

16.2

正交矩阵 $\mathbf{T}$ ,使得 ${\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT}$ 为对角矩阵.

17

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$ ,证明若 $\lambda$ 为 $\mathbf{A}$ 的一个特征值,则 $\lambda =0$ 或 1 .

18

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 ${\mathbf{A}}^k=0$ ,这里 $k$ 是某个正整数,证明 $\mathbf{A}$ 的所有特征值均为 0 .

19

设 $\mathbf{A}$ 为 $2\times 2$ 矩阵,若 $\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}\right)=8$ 且 $\left|\mathbf{A}\right|=12$ ,求 $\mathbf{A}$ 的特征值.

20

设 $\mathbf{A}$ 为一个正交矩阵,证明:

20.1

若 $\lambda$ 为 $\mathbf{A}$ 的一个特征值,则 $\left|\lambda \right|=1$ ;

20.2

$\left|A\right|=\pm 1$ .

21

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为两个 $n$ 阶方阵,证明:

21.1

若 $\lambda$ 为 $\mathbf{AB}$ 的一个非零特征值, 则它也是 $\mathbf{BA}$ 的一个特征值;

21.2

若 $\lambda =0$ 为 $\mathbf{AB}$ 的一个特征值, 则 $\lambda =0$ 也是 $\mathbf{BA}$ 的一个特征值.

22

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵且它的每一列元素之和都等于一个固定的常数 $\delta$, 证明 $\delta$ 为 $\mathbf{A}$ 的一个特征值.

23

设 $A,B$ 为两个 $n$ 阶方阵, 证明若存在同一个可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 同时对角化 $A$ 和 $B$, 则有 $AB=BA$ .

24

设 $\mathbf{A}$ 为一个具有 $n$ 重特征值 $a$ 的 $n\times n$ 矩阵,证明: $\mathbf{A}$ 可以对角化的充要条件是 $\mathbf{A}=a\mathbf{E}$ .