性质 3.1. 长度的性质

$∣ α ∣ \geq 0$ , 当且仅当 $α = 0$ 时, $∣ α ∣ = 0$ ;

$∣ k α ∣ = ∣ k ∣ ∣ α ∣, k \in R, α \in R^{n}$ ;

(柯西 - 施瓦茨 (Cauchy-Schwartz) 不等式) 若 $α, β \in R^{n}$ ,则 $∣ (α, β) ∣ \leq ∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣$

(三角不等式) 若 $α, β \in R^{n}$ ,则 $∣ α ∣ + ∣ β ∣ \geq ∣ α + β ∣ .$

证明

1 & 2

证明 (1) 和 (2) 很明显.

3

取定 $α, β \in R^{n}$ , 当 $β = 0$ 时结论显然成立. 今设 $β \neq = 0$ 并设 $t$ 为一个实数. 考虑 $α + tβ$ 和它自身的内积

(α + tβ, α + tβ) = (α, α) + 2 t (α, β) + t^{2} (β, β) .

这是 $t$ 的一个二次三项式. 由于它总是非负的, 所以判别式小于等于 0, 即有

(2 (α, β))^{2} - 4 (α, α) (β, β) \leq 0

于是

(α, β)^{2} \leq (α, α) (β, β)

两边开方, 得

∣ (α, β) ∣ \leq ∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣

4

若 $α, β \in R^{n}$ ,则

∣ α + β ∣^{2} = (α + β, α + β) = (α, α) + 2 (α, β) + (β, β),

而

(α, α) = ∣ α ∣^{2}, (β, β) = ∣ β ∣^{2}, (α, β) \leq ∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣,

所以

∣ α + β ∣^{2} \leq ∣ α ∣^{2} + 2 ∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣ + ∣ β ∣^{2} = (∣ α ∣ + ∣ β ∣)^{2} .

两边开方即得所要的结论.

Youliang Zhong

性质 3.1. 长度的性质

证明

1 & 2

3

4

Graph View

Table of Contents

Backlinks