例题 1.1

例题 1.1.

求矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量,这里

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}-3& 4& 0\\ -1& 1& 0\\ 7& 5& 1\end{array}\right)$$

解 因为 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为

$$\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +3& -4& 0\\ 1& \lambda -1& 0\\ -7& -5& \lambda -1\end{array}\right|=\left(\lambda -1\right){\left(\lambda +1\right)}^2,$$

所以 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,-1$ (二重).

将 $\lambda =1$ 代入齐次线性方程组 $\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 中,得

$$\{\begin{array}{ll}4x_1-4x_2& =0\\ x_1& =0\\ -7x_1-5x_2& =0\end{array}$$

它的一个基础解系是

$$\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

将 $\lambda =-1$ 代入齐次线性方程组 $\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 中,得

$$\{\begin{array}{ll}2x_1-4x_2& =0\\ x_1-2x_2& =0\\ -7x_1-5x_2-2x_3& =0\end{array}$$

它的一个基础解系是

$$\left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ -19\end{array}\right)$$

因此, $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,-1$.

属于 1 的全部特征向量是

$$k_1\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\left(k_1\in \mathbb{R}\text{ 且 }{k}_1\ne 0\right)$$

属于 -1 的全部特征向量是

$$k_2\left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ -19\end{array}\right)\left(k_2\in \mathbb{R}\text{,且 }{k}_2\ne 0\right).$$