例题 1.2

例题 1.2.

设矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

此矩阵在复数域内肯定有特征值. 试问在实数范围内,矩阵 $\mathbf{A}$ 在 $\theta$ 取何值时有特征值? 求出此时对应于特征值的特征向量.

解 $A$ 的特征多项式为

$$\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{rr}\lambda -\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \lambda -\cos \theta \end{array}\right|={\lambda }^2-2\lambda \cos \theta +1.$$

因为当 $\theta \ne n\pi \left(n\in \mathbb{Z}\right)$ 时, $\cos \theta \ne \pm 1$,判别式 $\Delta =4{\cos }^2\theta -4<0$,所以特征多项式没有实数根. 于是,此矩阵若在实数范围内存在特征值, $\theta$ 只能取 $n\pi$. 此时, 特征多项式为

$$\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|={\lambda }^2\pm 2\lambda +1={\left(\lambda \pm 1\right)}^2.$$

当 $\theta =2k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ 时,特征值为 $1$ (二重). 将 $\lambda =1$ 代入齐次线性方程组 $\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 中,求得其基础解系为

$$\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$$

属于 1 的全部特征向量是

$$k_1\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)(k_1,k_2\text{是不全为零的实数})\text{.}$$

当 $\theta =\left(2k+1\right)\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ 时,特征值为 -1 (二重). 将 $\lambda =-1$ 代入齐次线性方程组 $\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 中,求得其基础解系仍为

$$\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$$

属于 -1 的全部特征向量是

$$k_3\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)+k_4\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)(k_3,k_4\text{是不全为零的实数})\text{.}$$