例题 1.3

例题 1.3.

设 $\lambda$ 是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的一个特征值, $\alpha$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量. 证明: ${\lambda }^2$ 是 $A^2$ 的一个特征值, $\alpha$ 也是 $A^2$ 的属于特征值 ${\lambda }^2$ 的一个特征向量.

\begin{proof} 条件知 $A\alpha =\lambda \alpha$,且 $\alpha \ne 0$. 于是

$${\mathbf{A}}^2\alpha =\mathbf{A}\left(\mathbf{A}\alpha \right)=\mathbf{A}\left(\lambda \alpha \right)=\lambda \left(\mathbf{A}\alpha \right)={\lambda }^2\alpha .$$

所以 ${\lambda }^2$ 是 $A^2$ 的一个特由征值, $\alpha$ 也是 $A^2$ 的属于特征值 ${\lambda }^2$ 的一个特征向量. \end{proof}