定理 3.4.

实对称矩阵的特征值都是实数.

证明

阶实对称矩阵, 的任意一个特征值, 是属于 的任一特征向量, 于是 . 两边取共轭得 , 但 是实矩阵, ,故 . 用 左乘上式两端得到 . 又因为 是数, 于是

于是 ,故

又因 是非零向量, , 故 , 即 是一个实数.