定理 3.5.

定理 3.5.

实对称矩阵 $A$ 属于不同特征值的特征向量必正交.

证明

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别是 $\mathbf{A}$ 属于不同特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的 (实) 特征向量, 即

$$\mathbf{A}{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i\left({\alpha }_i\ne 0,i=1,2\right).$$

作内积

$$\left(\mathbf{A}{\alpha }_1,{\alpha }_2\right)=\left({\lambda }_1{\alpha }_1,{\alpha }_2\right)={\lambda }_1\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right).$$

另一方面

$$\begin{array}{rl}\left(\mathbf{A}{\alpha }_1,{\alpha }_2\right)& ={\left(\mathbf{A}{\alpha }_1\right)}^{\mathrm{T}}{\alpha }_2\\ & ={\alpha }_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\alpha }_2\\ & ={\alpha }_1^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\alpha }_2\\ & =\left({\alpha }_1,\mathbf{A}{\alpha }_2\right)\\ & =\left({\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2\right)\\ & ={\lambda }_2\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right).\end{array}$$

于是, ${\lambda }_1\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)={\lambda }_2\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$. 然而 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是两个不同的特征值, 所以 $\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)=$ 0, 即 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2$ 正交.