习题六

1

写出下列二次型的矩阵表示形式:

1.1

$f\left(x_1,x_2,x_3\right)={\left(a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3\right)}^2$ ;

1.2

$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1^2-x_2^2-7x_3^2-2x_1{x}_2-4x_1{x}_3+3x_2{x}_3$ ;

1.3

$f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=2x_4^2-2x_1{x}_3+6x_2{x}_3$ ;

1.4

$f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_4^2-2x_1{x}_2+4x_1{x}_3+6x_1{x}_4-4x_2{x}_3-2x_3{x}_4$.

2

写出下列矩阵所对应的二次型:

2.1

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 2\\ 0& 2& 3\\ 2& 3& -3\end{array}\right)$

2.2

$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{rrr}-4& 3& 2\\ 3& 0& 6\\ 2& 6& 2\end{array}\right)$.

3

用配方法把下列二次型化成标准形:

3.1

$x_1^2+x_2^2+3x_3^2+4x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ ;

3.2

$x_1^2-2x_2^2+3x_3^2+2x_1{x}_2+4x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ ;

3.3

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_4$.

4

用正交变换把下列实二次型化成标准形, 并写出所作的正交变换:

4.1

$2x_1{x}_3+x_2^2$

4.2

$6x_1^2+5x_2^2+7x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3$ ;

4.3

$x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2+x_3^2-4x_3{x}_4-2x_4^2$.

5

求下列实二次型的正、负惯性指数:

5.1

$x_1^2+x_2^2+3x_3^2+4x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ ;

5.2

$x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+4x_2{x}_3$ ;

5.3

$x_1^2+x_3^2-x_1{x}_2+x_3{x}_4+x_5{x}_6$.

6

判断下列实二次型是不是正定二次型, 或在何种条件下是正定二次型:

6.1

$f=3x_1^2+3x_2^2+7x_3^2+2x_4^2+4x_1{x}_3+2x_2{x}_3+2x_2{x}_4-4x_3{x}_4$ ;

6.2

$f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2\lambda x_1{x}_3-2x_1{x}_3+4x_2{x}_3$ ;

6.3

$f=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+2\lambda x_1{x}_2+10x_1{x}_3+6x_2{x}_3$ ;

6.4

$f=\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j$.

7

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 分别是 $m,n$ 阶正定矩阵,判断分块矩阵

$$C=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)$$

是不是正定矩阵?

8

证明: 实二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}$ 负定的充要条件是: $\mathbf{A}$ 的奇数阶顺序主子式全小于零, 偶数阶顺序主子式全大于零.

9

设有二次型 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$,问

9.1

当 $a$ 取何值时, $f\left(x_1,x_2,x_3\right)$ 正定?

9.2

当 $a$ 取何值时, $f\left(x_1,x_2,x_3\right)$ 负定?

10

证明: 若实二次型 $f={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}$ 正定,则 $g={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{X}$ 也正定.

11

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为两个 $n$ 阶正定矩阵,证明: $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 也是正定矩阵.

12

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶正定矩阵,证明:

12.1

${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 也是正定矩阵;

12.2

$\mathbf{A}$ 的伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 也是正定矩阵.

13

设 $\mathbf{A}$ 是正定矩阵,证明: 必存在正定矩阵 $\mathbf{B}$,使得 $\mathbf{A}={\mathbf{B}}^2$.

14

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵, 且 $\left|\mathbf{A}\right|<0$. 证明: 必存在实 $n$ 维列向量 ${\mathbf{X}}_0\ne 0$ 使 $X_0^{\mathrm{T}}A{X}_0<0$

15

证明: 若 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 为正定矩阵, 则 $a_{ii}>0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ; 若 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 为负定矩阵,则 $a_{ii}<0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$.

16

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶正定矩阵,又 $k,l$ 为正数,证明: $k\mathbf{A}+l\mathbf{B}$ 也是正定矩阵.

17

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $m$ 为正整数,则 ${\mathbf{A}}^m$ 也是正定的.

18

设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 为实正定矩阵, $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 为任意 $n$ 个非零实数. 证明: 矩阵 $\mathbf{B}={\left(a_{ij}{b}_i{b}_j\right)}_{nn}$ 也是正定矩阵.

19

求球面 $x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0$ 的球心和半径.

20

在空间直角坐标系中, 下列方程表示什么图形? 并作图.

20.1

$9x^2+y^2=1$

20.2

$y^2-z^2=1$

20.3

$x^2=3y$.

21

求下列 $xOy$ 面上的曲线绕指定的坐标轴旋转所形成的旋转面的方程:

21.1

$y^2=2x$,绕 $x$ 轴;

21.2

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$,绕 $y$ 轴.

22

说明方程组

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}& =1\\ y& =3\end{array}$$

在空间直角坐标系中表示什么图形.

23

求球面 $x^2+y^2+z^2=6$ 与平面 $x+z=1$ 的交线在 $xOy$ 面上的投影方程.

24

下列二次方程表示什么曲面? 并作图.

24.1

$4x^2+y^2+9z^2=36$ ;

24.2

$4x^2-4y^2+9z^2=36$ ;

24.3

$x^2-2y^2-z^2=0$

24.4

$4x^2-9y^2=72z$ ;

24.5

$5x^2+z^2=2y$.

25

将下面的二次方程化成标准方程, 并指出它们是什么曲面:

25.1

$4x^2-6y^2-6z^2-4yz-4x+4y+4z-5=0$ ;

25.2

$x^2-y^2+4xz-4yz=3$ ;

25.3

$2xy+2xz+2yz=-1$ ;

25.4

$4x^2+3y^2+3z^2+2yz=1$.