6.1.3 规范形

复数情形

在 $F=\mathbb{C}$ 为复数域的情形中进一步讨论. 若经过非退化的线性替换已得到标准形

$$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_r{y}_r^2$$

这里 $d_1,d_2,\cdots ,d_r$ 均不为 0.

由于复数均可以开平方, 那么令

$$y_i=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{d_i}}{z}_i,& i=1,2,\cdots ,r,\\ z_i,& i=r+1,r+2,\cdots ,n,\end{array}$$

即

$$\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_r\\ z_{r+1}\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}\sqrt{d_1}& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & \sqrt{d_r}& & & \\ & & & 1& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_r\\ y_{r+1}\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).$$

则它是非退化的线性替换, 且有

$$f=z_1^2+z_2^2+\cdots +z_r^2$$

此处, $z_1^2+z_2^2+\cdots +z_r^2$ 称为复二次型 $f$ 的规范形. 显然,复二次型的规范形由 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的秩 $r$ 唯一确定.

实数情形

下面讨论实数域上的二次型. 这不仅要求所出现的一切二次型系数都是实数, 而且要求所作的线性替换中的系数也都是实数.

设 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的标准形中有 $r$ 个系数不为零的平方项. 重新排列各变量, 不妨设

$$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_p{y}_p^2-d_{p+1}{y}_{p+1}^2-\cdots -d_r{y}_r^2,$$

其中 $d_i\left(i=1,2,\cdots ,r\right)$ 都大于零. 此时令

$$\{\begin{array}{ll}{y}_i=\frac{1}{\sqrt{d_i}}{z}_i,& i=1,2,\cdots ,r,\\ y_j=z_j,& j=r+1,r+2,\cdots ,n,\end{array}$$

则

$$f=z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_r^2.$$

上式右端称为实二次型 $f$ 的规范形. 其中,系数为 +1 的平方项有 $p$ 个,系数为 -1 的平方项有 $r-p$ 个.

定理 1.6 (惯性定理)

任意一个实数域上的二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=$ ${\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}$ 经过一适当非退化的线性替换可以变成规范形,且规范形唯一确定.

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定理的证明不作要求, 从略.

这就是说, 不管用何种非退化的线性替换来化简二次型, 最后所得到的规范形中系数为 +1 的平方项个数总不变. 把这个定理用到标准形上, 说明用不同方法得到的二次型标准形中有正系数的平方项个数总相同. 于是, 负系数的平方项个数也相同.

定义 (惯性指数)

这个定理证明了 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 规范形中系数为 +1 的平方项个数和系数为 -1 的平方项个数都由原二次型唯一确定, 分别称为二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的正惯性指数和负惯性指数. 正惯性指数减去负惯性指数得到的数称为符号差.

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