单叶双曲面

定义 (单叶双曲面)

设 $a>0,b>0,c>0$ , 由方程

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

所表示的曲面称为单叶双曲面.

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下面用截痕法来研究它的形状.

与 yOz 面的交线

单叶双曲面 (4.3) 与 $yOz$ 面的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}& =1\\ x& =0\end{array}$$

它是 $yOz$ 面上的双曲线,虚轴在 $z$ 轴上. 类似可知单叶双曲面 (4.3) 与 $xOz$ 面的交线为双曲线,虚轴在 $z$ 轴上.

与 xOy 平行面的交线

单叶双曲面 (4.3) 与平行于 $xOy$ 面的平面 $z=h$ 的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1+\frac{h^2}{c^2},\\ z& =h.\end{array}$$

它是中心在 $z$ 轴上的椭圆.

• 当 $\left|h\right|$ 由小变大时,椭圆截痕也由小变大;
• 当 $h=0$ 时, 截痕最小.

综上所述

单叶双曲面 (4.3) 的形状如图 6.8 所示.

图 6.8