双曲抛物面

定义 (双曲抛物面)

设 $a>0,b>0$ ,由方程

$$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.

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与 xOy 面的交线

双曲抛物面 (4.7) 与平行于 $xOy$ 面的平面 $z=h$ 的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}& =h,\\ z& =h.\end{array}$$

• 当 $h=0$ 时,它是 $xOy$ 面上的两条直线 $y=\pm \frac{bx}{a}$;
• 当 $h\ne 0$ 时,它是双曲线.
• 如果 $h>0$ ,其实轴平行于 $x$ 轴;
• 如果 $h<0$ ,其实轴平行于 $y$ 轴.

与 xOz 平行面的交线

双曲抛物面 (4.7) 与平行于 $xOz$ 面的平面 $y=h$ 的交线为

$$\{\begin{array}{l}z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{h^2}{b^2}\\ y=h\end{array}$$

它是抛物线,其对称轴与 $z$ 轴平行,开口朝 $z$ 轴的正方向.

双曲抛物面 (4.7) 与平行于 $yOz$ 面的平面 $x=h$ 的交线为

$$\{\begin{array}{l}z=\frac{h^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\\ x=h\end{array}$$

它是抛物线,其对称轴与 $z$ 轴平行,开口朝 $z$ 轴的负方向.

综上所述

双曲抛物面 (4.7) 的形状如图 6.11 所示.

图 6.11