习题七

1

讨论下列集合对于所给的线性运算是否构成线性空间:

1.1

实数域上的全体 $n$ 阶对称 (反称,上三角形) 矩阵,对于矩阵的加法和数乘;

1.2

实数域上的全体 $n$ 维向量,关于通常的向量加法和如下定义的数乘:

$$k\cdot \alpha =\alpha$$

1.3

$V=\left\{\left(x_1,x_2\right)\mid x_1,x_2\in \mathbb{R}\right\}$,关于下述定义的加法和数乘:

$$\left(x_1,x_2\right)\oplus \left(y_1,y_2\right)=\left(x_1+y_1,x_2+y_2\right)$$ $$k\odot \left(x_1,x_2\right)=\left(k{x}_1,k{x}_2+\frac{k\left(k-1\right)}{2}{x}_1^2\right).$$

2

在 ${\mathbb{R}}^4$ 中,求向量 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 下的坐标,其中

2.1

$\{\begin{array}{ll}{\alpha }_1& =\left(1,1,1,1\right),\\ {\alpha }_2& =\left(1,1,-1,-1\right),\\ {\alpha }_3& =\left(1,-1,1,-1\right),\\ {\alpha }_4& =\left(1,-1,-1,1\right),\\ \beta & =\left(1,2,1,1\right);\end{array}$

2.2

$\{\begin{array}{ll}{\alpha }_1& =\left(1,1,0,1\right),\\ {\alpha }_2& =\left(2,1,3,1\right),\\ {\alpha }_3& =\left(1,1,0,0\right),\\ {\alpha }_4& =\left(0,1,-1,-1\right),\\ \beta & =\left(0,0,0,1\right).\end{array}$

3

在 ${\mathbb{R}}^4$ 中,求下列基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$ 的过渡矩阵:

3.1

${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 为标准单位向量, $\{\begin{array}{l}{\beta }_1=\left(2,1,-1,1\right),\\ {\beta }_2=\left(0,3,1,0\right),\\ {\beta }_3=\left(5,3,2,1\right),\\ {\beta }_4=\left(6,6,1,3\right);\end{array}$

3.2

$\{\begin{array}{l}{\alpha }_1=\left(1,2,-1,0\right),\\ {\alpha }_2=\left(1,-1,1,1\right),\\ {\alpha }_3=\left(-1,2,1,1\right),\\ {\alpha }_4=\left(-1,-1,0,1\right).\end{array}\{\begin{array}{l}{\beta }_1=\left(2,1,0,1\right),\\ {\beta }_2=\left(0,1,2,2\right),\\ {\beta }_3=\left(-2,1,1,2\right),\\ {\beta }_4=\left(1,3,1,2\right).\end{array}$

4

设 $V=M_{nn}\left(F\right)$ 表示由 $F$ 上全部 $n\times n$ 矩阵所组成的线性空间, $\mathbf{A}$ 为一个 $n\times n$ 矩阵.

4.1

变换 $\sigma \left(\mathbf{X}\right)=\mathbf{AX},\mathbf{X}\in V$ 是不是 $V$ 的线性变换?

4.2

设又有 $n\times n$ 矩阵 $\mathbf{B}$. 变换 $\tau \left(\mathbf{X}\right)=\mathbf{AXB},\mathbf{X}\in V$ 是不是 $V$ 的线性变换?

5

设 $V,\mathbf{A}$ 和 $\sigma$ 的定义由上题给出,但 $n=2$. 令

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$$

求线性变换 $\sigma$ 在基 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 下的矩阵,其中

$${\mathbf{E}}_{11}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_{12}=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_{21}=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_{22}=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

6

已知三维空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$$

6.1

求 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_3,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ 下的矩阵;

6.2

求 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,5{\epsilon }_2,-6{\epsilon }_3$ 下的矩阵;

6.3

求 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1+{\epsilon }_2,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的矩阵.

7

设 $V=F_n\left[x\right]$ 表示数域 $F$ 上的由次数小于 $n$ 的多项式及零多项式组成的线性空间, 在 $V$ 内取基

$$1,x,\frac{1}{2}{x}^2,\cdots ,\frac{1}{n-1}{x}^{n-1}$$

求微分变换 $\mathcal{D}$ 在此基下的矩阵.

8

在三维线性空间 $V$ 中给定了线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{rrr}-5& 9& 4\\ -6& 11& 5\\ 7& -13& -6\end{array}\right)$$

另一组基 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 与 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 的关系为

$$\{\begin{array}{l}{\eta }_1=9{\epsilon }_1+3{\epsilon }_2+4{\epsilon }_3\\ {\eta }_2=2{\epsilon }_1+{\epsilon }_2\\ {\eta }_3={\epsilon }_1+{\epsilon }_2-{\epsilon }_3\end{array}$$

8.1

求 $\sigma$ 在基 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 下的矩阵;

8.2

又设 $\alpha$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的坐标为 $\left(1,1,1\right)$,求向量 $\alpha$ 在基 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 下的坐标.

9

设 $\sigma$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个线性变换,已知 $\sigma$ 在标准单位向量 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{rrr}0& 2& 6\\ -1& 0& 3\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$$

求 $\sigma$ 在基 ${\alpha }_1={\epsilon }_1,{\alpha }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2,{\alpha }_3={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3$ 下的矩阵.

10

设 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换, $\alpha \in V$,若 $\alpha ,\sigma \left(\alpha \right),{\sigma }^2\left(\alpha \right),\cdots ,{\sigma }^{k-1}\left(\alpha \right)$ 都不是零向量,但 ${\sigma }^k\left(\alpha \right)=0$. 证明: $\alpha ,\sigma \left(\alpha \right),{\sigma }^2\left(\alpha \right),\cdots ,{\sigma }^{k-1}\left(\alpha \right)\left(k\ge 1\right)$ 线性无关.