1.1.1.1. 行列式的概念

$n^{2}$ 个数 (或称元素) 依次排成 $n$ 行、 $n$ 列,并用两条竖线围起:

∣ A ∣ = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} (1.1)

称为 $n$ 阶行列式.

1.1.1.2. 余子式

设 $∣ A ∣$ 是一个 $n$ 阶行列式,切去 $∣ A ∣$ 的第 $i$ 行及第 $j$ 列,剩下的 $(n - 1)^{2}$ 个元素按原来的顺序组成一个 $n - 1$ 阶行列式,这个行列式称为 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素的余子式,记为 $M_{ij}$ .

1.1.1.3. 行列式值的归纳法定义

设 $∣ A ∣$ 是如 (1.1) 式所示的行列式,若 $n = 1$ ,即 $∣ A ∣$ 只含一个元素 $a_{11}$ ,则定义 $∣ A ∣$ 的值就等于 $a_{11}$ . 假定对 $n - 1$ 阶行列式的值已定义好,那么对任意的 $i, j, ∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 的值已经定义好,定义 $∣ A ∣$ 的值为

∣ A ∣ = a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + \dots + (- 1)^{i + 1} a_{i 1} M_{i 1} + \dots + (- 1)^{n + 1} a_{n 1} M_{n 1} . (1.2)

1.1.1.4. 代数余子式

设 $∣ A ∣$ 是如 (1.1) 式所示的 $n$ 阶行列式, $M_{ij}$ 是 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素的余子式, 定义 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素的代数余子式为

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij} (1.3)

1.1.1.5. 定理

设 $∣ A ∣$ 是如 (1.1) 式所示的 $n$ 阶行列式,则对任一 $j$ ( $1 \leq j \leq n$ ) ,

∣ A ∣ = (- 1)^{1 + j} a_{1 j} M_{1 j} + \dots + (- 1)^{i + j} a_{ij} M_{ij} + \dots + (- 1)^{n + j} a_{nj} M_{nj}, (1.4)

或用代数余子式表示为

∣ A ∣ = a_{1 j} A_{1 j} + \dots + a_{ij} A_{ij} + \dots + a_{nj} A_{nj} . (1.5)

(1.4) 式、(1.5) 式两式称为行列式按第 $j$ 列展开. 由对称性,行列式也可以按行展开:

∣ A ∣ = (- 1)^{i + 1} a_{i 1} M_{i 1} + \dots + (- 1)^{i + j} a_{ij} M_{ij} + \dots + (- 1)^{i + n} a_{in} M_{in}, (1.6)

或用代数余子式表示为

∣ A ∣ = a_{i 1} A_{i 1} + \dots + a_{ij} A_{ij} + \dots + a_{in} A_{in} . (1.7)

1.1.1.6. 行列式值的组合定义

设 $∣ A ∣$ 是 $n$ 阶行列式,它的第 $(i, j)$ 元素是 $a_{ij}$ ,定义 $∣ A ∣$ 的值为

(k_{1}, \dots, k_{n}) \in S_{n} \sum (- 1)^{N (k_{1}, \dots, k_{n})} a_{k_{1} 1} a_{k_{2} 2} \dots a_{k_{n} n}

其中 $N (k_{1}, \dots, k_{n})$ 表示排列 $(k_{1}, \dots, k_{n})$ 的逆序数.

Youliang Zhong

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1.1.1 行列式的定义