1.1.2 行列式的性质及行列式的计算

1.1.2.1. 行列式的性质

性质 1

上 (下) 三角行列式的值等于其主对角线上元素之积.

性质 2

若行列式的某一行 (或某一列) 全为零, 则行列式的值等于零.

性质 3

用某个常数 $c$ 乘以行列式的某一行 (或某一列),所得到的行列式的值等于原行列式值的 $c$ 倍.

性质 4

行列式的两行 (或两列) 对换, 行列式的值改变符号.

性质 5

若行列式的某两行 (或某两列) 成比例, 则行列式的值等于零.

性质 6

若行列式的某一行 (或某一列) 元素 $a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$ ,则该行列式可分解为两个行列式之和,其中一个行列式的相应行 (或列) 的元素为 $b_{ij}$ ,另一个行列式的相应行 (或列) 的元素为 $c_{ij}$ ,用式子来表示就是:

&\left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {b}_{i1} + {c}_{i1} & {b}_{i2} + {c}_{i2} & \cdots & {b}_{in} + {c}_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| \\=&\left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {b}_{i1} & {b}_{i2} & \cdots & {b}_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {c}_{i1} & {c}_{i2} & \cdots & {c}_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| \end{align}

(对列也有类似等式成立).

性质 7

将行列式的某一行 (或某一列) 乘以常数 $c$ 以后加到另一行 (或另一列) 上去, 行列式的值不变.

性质 8

行列式转置后的值不变,即 $\left|{\mathbf{A}}^{\prime }\right|=\left|\mathbf{A}\right|.$

1.1.2.2. 行列式的计算

如果用定义来计算行列式, 除了极少量的行列式可以比较容易算出外, 大多数行列式的计算十分烦琐. 行列式的计算主要运用它的性质来进行.