Cramer 法则适用于计算含有 $n$ 个未知数、 $n$ 个方程式的线性方程组.

1.1.3.1. 线性方程组

线性方程组的一般形式为

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \dots\dots\dots\dots a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{nn} x_{n} = b_{n}, (1.8)

其中

1.1.3.2. Cramer 法则

现设有如 (1.8) 式的线性方程组, (1.8) 式中诸未知数的系数按式中的顺序排列组成一个 $n$ 阶行列式,记为 $∣ A ∣$ :

∣ A ∣ = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}

$∣ A ∣$ 称为线性方程组 (1.8) 的系数行列式.

将常数项 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 依次置换 $∣ A ∣$ 的第一列元素,便得到行列式 $∣ A_{1} ∣$ :

∣ A_{1} ∣ = b_{1} b_{2} ⋮ b_{n} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}

再将 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 依次置换 $∣ A ∣$ 的第二列元素,得到行列式 $∣ A_{2} ∣$ :

∣ A_{2} ∣ = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} b_{1} b_{2} ⋮ b_{n} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} .

不断这样做下去,即用 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 依次置换 $∣ A ∣$ 的第三列,第四列, $\dots$ ,第 $n$ 列,便得到 $∣ A_{3} ∣, ∣ A_{4} ∣, \dots, ∣ A_{n} ∣$ .

设有 $n$ 个未知数、 $n$ 个方程式的线性方程组如 (1.8) 式所示,若它的系数行列式 $∣ A ∣$ 的值不等于零,则该方程组有且只有一组解:

x_{1} = \frac{∣ A _{1} ∣}{∣ A ∣}, x_{2} = \frac{∣ A _{2} ∣}{∣ A ∣}, \dots, x_{n} = \frac{∣ A _{n} ∣}{∣ A ∣} .