1.2.10 Laplace 定理的应用

例 1.37

利用行列式的 Laplace 定理证明恒等式:

$$\left(a{b}^{\prime }-a^{\prime }b\right)\left(c{d}^{\prime }-c^{\prime }d\right)-\left(a{c}^{\prime }-a^{\prime }c\right)\left(b{d}^{\prime }-b^{\prime }d\right)+\left(a{d}^{\prime }-a^{\prime }d\right)\left(b{c}^{\prime }-b^{\prime }c\right)=0.$$

证明

显然下列行列式的值为零:

$$\left|\begin{array}{llll}a& a^{\prime }& a& a^{\prime }\\ b& b^{\prime }& b& b^{\prime }\\ c& c^{\prime }& c& c^{\prime }\\ d& d^{\prime }& d& d^{\prime }\end{array}\right|.$$

用 Laplace 定理按第一、第二行展开即得.

例 1.38

求 $2n$ 阶行列式的值 (空缺处都是零):

$$\left|\begin{array}{lllll}a& & & & b\\ & \ddots & & & {.}^{{.}^{{.}^{{.}^{.}}}}\\ & & a& b& \\ & & b& a& \\ & {.}^{{.}^{{.}^{{.}^{.}}}}& & \ddots & \\ b& & & & a\end{array}\right|.$$

解

不断用 Laplace 定理 (第一行及最后一行), 即可求得行列式的值为

$${\left(a^2-b^2\right)}^n\text{.}$$

例 1.39

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵,若 $M$ 是行列式 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的 $k$ 阶子式,则用 $\tilde{M}$ 表

示 $\left|\mathbf{B}\right|$ 中与该子式位置相同子式的代数余子式,求证: $\left|\mathbf{A}+\mathbf{B}\right|$ 等于所有可能的 $M$ 与 $\tilde{M}$ 的乘积之和.

证明

设 $\left|\mathbf{A}\right|=\left|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right|,\left|\mathbf{B}\right|=\left|{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right|$ ,其中 ${\alpha }_i,{\beta }_i$ 分别是 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的列向量. 注意到

$$\left|\mathbf{A}+\mathbf{B}\right|=\left|{\alpha }_1+{\beta }_1,{\alpha }_2+{\beta }_2,\cdots ,{\alpha }_n+{\beta }_n\right|.$$

对 $\left|\mathbf{A}+\mathbf{B}\right|$ ,按列用行列式性质 6 展开,使每个行列式的每一列或者只含 ${\alpha }_i$ ,或者只含 ${\beta }_i$ (即按列向量完全拆开). $\left|\mathbf{A}+\mathbf{B}\right|$ 可以表示为这样的 $2^n$ 个行列式之和. 对每个行列式用 Laplace 定理按含有 $\mathbf{A}$ 的列向量的那些列展开便可得到结论.