关于行列式的计算技巧, 除了上面提及的 10 种方法之外, 在矩阵这一章中, 我们还将分别介绍 “矩阵乘法”、“降阶公式” 和 “Cauchy-Binet 公式” 这 3 种方法. 另外, 一些重要的例题 (如例 1.32 等) 也可以看成是某种模板, 今后亦可直接利用其结论去计算相关的行列式. 总之, 行列式的计算具有相当的技巧性, 有时需要综合运用各种方法进行处理. 下面我们再列举一些典型例题加以说明.

例 1.40

解方程:

1111 12 - 2 x 144 x^{2} 18 - 8 x^{3} = 0.

解

事实上这是一个关于 $1, 2, - 2, x$ 的 Vander Monde 行列式,从而可得

(x - 1) (x - 2) (x + 2) (- 2 - 1) (- 2 - 2) (2 - 1) = 0,

于是方程的解为 $1, 2, - 2$ .

例 1.41

求下列行列式的值:

∣ A ∣ = 1122 1 2 - x^{2} 33 2211 335 9 - x^{2} .

解

本题利用降阶法进行计算也是可以的, 但这里我们直接利用行列式的性质来求解. 上述行列式按组合定义展开将得到一个关于未知数 $x$ 的首项系数为 -3 的四次多项式,注意到当 $2 - x^{2} = 1$ 或 $9 - x^{2} = 5$ 时,行列式均有两行相同,从而值为零. 因此 $x = \pm 1, \pm 2$ 是上述一元四次多项式的 4 个不同的根,由例 1.31 可知 $\pm 1, \pm 2$ 就是全部的根,从而 $∣ A ∣ = - 3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ . $□$

例 1.42

若对任意的 $n$ 阶行列式 $∣ A ∣$ ,存在从 $n$ 阶行列式集合到数集的映射 $f$ , 满足下列条件:

(1) 若 $∣ A ∣$ 是对角行列式且主对角线上的元素全是 1,则 $f (∣ A ∣) = 1$ ;

(2) 将 $∣ A ∣$ 的任意两列对换得到 $∣ B ∣$ ,则 $f (∣ B ∣) = - f (∣ A ∣)$ ;

(3) 将 $∣ A ∣$ 的任意一列乘以常数 $k$ 得到 $∣ B ∣$ ,则 $f (∣ B ∣) = k f (∣ A ∣)$ ;

(4) 若 $∣ A ∣$ 的第 $i$ 列可表示为另外两个行列式 $∣ B ∣$ 和 $∣ C ∣$ 的第 $i$ 列之和,而 $∣ B ∣$ 和 $∣ C ∣$ 的其他列都与 $∣ A ∣$ 的相应列完全相同,则 $f (∣ A ∣) = f (∣ B ∣) + f (∣ C ∣)$ .

求证: $f (∣ A ∣)$ 就是行列式 $∣ A ∣$ 的值.

证明

设 $∣ A ∣$ 如 (1.1) 式所示. 我们采用教材 [1] 中第 1.6 节的记号,用 $e_{i}$ 表示标准单位列向量, $α_{j}$ 表示 $∣ A ∣$ 的第 $j$ 个列向量,则

α_{j} = a_{1 j} e_{1} + a_{2 j} e_{2} + \dots + a_{nj} e_{n} = i = 1 \sum n a_{ij} e_{i} .

由上面的假设 (3)、(4), 得

f (∣ A ∣) = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) \sum a_{k_{1} 1} a_{k_{2} 2} \dots a_{k_{n} n} f (∣ e_{k_{1}}, e_{k_{2}}, \dots, e_{k_{n}} ∣) .

由假设 (2),若 $k_{i} = k_{j}$ ,则 $f (∣ e_{k_{1}}, e_{k_{2}}, \dots, e_{k_{n}} ∣) = 0$ . 因此在上面 $f (∣ A ∣)$ 的表达式中,只剩下 $k_{i}$ 互不相同的项. 由行列式值的组合定义,只要证 $f (∣ e_{k_{1}}, e_{k_{2}}, \dots, e_{k_{n}} ∣)$ 等于行列式 $∣ e_{k_{1}}, e_{k_{2}}, \dots, e_{k_{n}} ∣$ 的值就可以了. 事实上,通过 $N (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n})$ 次相邻对换即可将 $∣ e_{k_{1}}, e_{k_{2}}, \dots, e_{k_{n}} ∣$ 变成 $∣ e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n} ∣$ . 由假设 (2) 及 (1),有

f (∣ e_{k_{1}}, e_{k_{2}}, \dots, e_{k_{n}} ∣) = (- 1)^{N (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n})} .

这就证明了结论.

注本命题说明行列式的性质加上上述例题的 (1) 完全刻画了行列式的值.

例 1.43

设 $f_{k} (x) (k = 1, 2, \dots, n)$ 是次数不超过 $n - 2$ 的多项式,求证: 对任意的 $n$ 个数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ,均有

f_{1} (a_{1}) f_{1} (a_{2}) ⋮ f_{1} (a_{n}) f_{2} (a_{1}) f_{2} (a_{2}) ⋮ f_{2} (a_{n}) \dots \dots \dots f_{n} (a_{1}) f_{n} (a_{2}) ⋮ f_{n} (a_{n}) = 0.

证法 1

作行列式

g (x) = f_{1} (x) f_{1} (a_{2}) ⋮ f_{1} (a_{n}) f_{2} (x) f_{2} (a_{2}) ⋮ f_{2} (a_{n}) \dots \dots \dots f_{n} (x) f_{n} (a_{2}) ⋮ f_{n} (a_{n}),

这是个次数不超过 $n - 2$ 的多项式. 若 $a_{i} (i = 2, \dots, n)$ 中有相同者,则显然 $g (x) = 0$ . 若诸 $a_{i}$ 互不相同,则由 $g (a_{i}) = 0 (i = 2, \dots, n)$ 知 $g (x)$ 有 $n - 1$ 个互不相同的根, 由例 1.31 可得 $g (x) = 0$ . 总之, $g (x)$ 是一个零多项式,因此原行列式的值恒为零.

证法 2

我们也可以用拆分法来证明. 因为 $f_{k} (x) (k = 1, 2, \dots, n)$ 的次数不超过 $n - 2$ ,所以它们都是单项式 $1, x, \dots, x^{n - 2}$ 的线性组合. 我们将原行列式中每一列的多项式都按这 $n - 1$ 个单项式进行拆分,最后得到若干个简单行列式之和,这些行列式中每一列的多项式只是单项式了. 由于有 $n$ 列,根据抽屉原理,至少有两列是共用同一个单项式 (可能相差一个系数), 于是这两列成比例, 从而所有这样的简单行列式都等于零, 因此原行列式也等于零.

下面我们直接利用行列式的性质给出例 1.15 的另一解法.

例 1.15 的解法 2

将第二列乘以 -1 分别加到第一列和第三列上, 再将第一列和第三列的公因子提出, 可得

∣ A ∣ = (a + b + c)^{2} a + b - c a - b - c 0 c^{2} (b + c)^{2} b^{2} 0 a - b - c a + c - b

将上述行列式的第一行和第三行分别乘以 -1 加到第二行上; 再将第一列乘以 $\frac{c}{2}$ 加到第二列上,第三列乘以 $\frac{b}{2}$ 加到第二列上; 最后将第二列的公因子提出,可得

∣ A ∣ = (a + b + c)^{2} a + b - c - 2 b 0 c^{2} 2 b c b^{2} 0 - 2 c a + c - b

= (a + b + c)^{2} a + b - c - 2 b 0 \frac{c}{2} (a + b + c) 0 \frac{b}{2} (a + b + c) 0 - 2 c a + c - b

= (a + b + c)^{3} a + b - c - 2 b 0 \frac{c}{2} 0 \frac{b}{2} 0 - 2 c a + c - b

= 2 ab c (a + b + c)^{3} . [

例 1.44

计算下列 $n$ 阶行列式的值:

∣ A ∣ = (x - a_{1})^{2} a_{1}^{2} ⋮ a_{1}^{2} a_{2}^{2} (x - a_{2})^{2} ⋮ a_{2}^{2} \dots \dots \dots a_{n}^{2} a_{n}^{2} ⋮ (x - a_{n})^{2} .

解

注意到 $(x - a_{i})^{2} = a_{i}^{2} - (2 a_{i} - x) x$ ,因此直接利用例 1.3 的结论可得

∣ A ∣ = i = 1 \sum n (x^{2} - 2 a_{1} x) \dots (x^{2} - 2 a_{i - 1} x) a_{i}^{2} (x^{2} - 2 a_{i + 1} x) \dots (x^{2} - 2 a_{n} x)

+ (x^{2} - 2 a_{1} x) \dots (x^{2} - 2 a_{n} x) .

例 1.34 的解法 2

利用例 1.28 和例 1.32 来进行计算. 设

∣ B (t) ∣ = x_{1} + t x_{2} + t ⋮ x_{n} + t x_{1}^{2} + t x_{2}^{2} + t ⋮ x_{n}^{2} + t \dots \dots \dots x_{1}^{n} + t x_{2}^{n} + t ⋮ x_{n}^{n} + t

且 $B_{ij}$ 是 $∣ B (0) ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素的代数余子式,则由例 1.32 可得

∣ A ∣ = ∣ B (1) ∣ = ∣ B (0) ∣ + i, j = 1 \sum n B_{ij}, ∣ B (- 1) ∣ = ∣ B (0) ∣ - i, j = 1 \sum n B_{ij},

从而 $∣ A ∣ = 2 ∣ B (0) ∣ - ∣ B (- 1) ∣$ . 注意到 $∣ B (0) ∣ = x_{1} x_{2} \dots x_{n} 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i})$ ,又由例 1.28 可得 $∣ B (- 1) ∣ = (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \dots (x_{n} - 1) 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i})$ ,故可得

∣ A ∣ = (2 x_{1} x_{2} \dots x_{n} - (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \dots (x_{n} - 1)) 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) .

例 1.45

设 $n$ 阶行列式 $∣ A ∣ = ∣ a_{ij} ∣, A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式,求证:

∣ B ∣ = a_{11} - a_{12} a_{21} - a_{22} a_{31} - a_{32} ⋮ a_{n 1} - a_{n 2} a_{12} - a_{13} a_{22} - a_{23} a_{32} - a_{33} ⋮ a_{n 2} - a_{n 3} \dots \dots \dots \dots a_{1, n - 1} - a_{1 n} a_{2, n - 1} - a_{2 n} a_{3, n - 1} - a_{3 n} ⋮ a_{n, n - 1} - a_{nn} 111 ⋮ 1 = i, j = 1 \sum n A_{ij} .

证法 1

依次将第 $i$ 列加到第 $i - 1$ 列上去 $(i = n - 1, \dots, 2)$ ,可得

∣ B ∣ = a_{11} - a_{1 n} a_{21} - a_{2 n} a_{31} - a_{3 n} ⋮ a_{n 1} - a_{nn} a_{12} - a_{1 n} a_{22} - a_{2 n} a_{32} - a_{3 n} ⋮ a_{n 2} - a_{nn} \dots \dots \dots \dots a_{1, n - 1} - a_{1 n} a_{2, n - 1} - a_{2 n} a_{3, n - 1} - a_{3 n} ⋮ a_{n, n - 1} - a_{nn} 111 ⋮ 1 .

将上述行列式增加一行和一列进行升阶, 可得

∣ B ∣ = (- 1)^{n} - 1 a_{11} - a_{1 n} a_{21} - a_{2 n} a_{31} - a_{3 n} ⋮ a_{n 1} - a_{nn} - 1 a_{12} - a_{1 n} a_{22} - a_{2 n} a_{32} - a_{3 n} ⋮ a_{n 2} - a_{nn} \dots \dots \dots \dots \dots - 1 a_{1, n - 1} - a_{1 n} a_{2, n - 1} - a_{2 n} a_{3, n - 1} - a_{3 n} ⋮ a_{n, n - 1} - a_{nn} - 1 000 ⋮ 0 0111 ⋮ 1 .

将上述行列式的第一行分别乘以 $- a_{in}$ 加到第 $i + 1$ 行上去 $(i = 1, \dots, n)$ ,可得

∣ B ∣ = (- 1)^{n} - 1 a_{11} a_{21} a_{31} ⋮ a_{n 1} - 1 a_{12} a_{22} a_{32} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots \dots - 1 a_{1, n - 1} a_{2, n - 1} a_{3, n - 1} ⋮ a_{n, n - 1} - 1 a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} ⋮ a_{nn} 0111 ⋮ 1 .

将上述行列式的第一行进行拆分, 可得

∣ B ∣ = (- 1)^{n} - 1 a_{11} a_{21} a_{31} ⋮ a_{n 1} - 1 a_{12} a_{22} a_{32} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots \dots - 1 a_{1, n - 1} a_{2, n - 1} a_{3, n - 1} ⋮ a_{n, n - 1} - 1 a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} ⋮ a_{nn} 1111 ⋮ 1 + (- 1)^{n} 0 a_{11} a_{21} a_{31} ⋮ a_{n 1} 0 a_{12} a_{22} a_{32} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots \dots 0 a_{1, n - 1} a_{2, n - 1} a_{3, n - 1} ⋮ a_{n, n - 1} 0 a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} ⋮ a_{nn} - 1 111 ⋮ 1 .

将上述第一个行列式的最后一列依次加到前 $n$ 列上,再按第一行进行展开; 第二个行列式也按第一行进行展开, 可得

∣ B ∣ = a_{11} + 1 a_{21} + 1 a_{31} + 1 ⋮ a_{n 1} + 1 a_{12} + 1 a_{22} + 1 a_{32} + 1 ⋮ a_{n 2} + 1 \dots \dots \dots \dots a_{1, n - 1} + 1 a_{2, n - 1} + 1 a_{3, n - 1} + 1 ⋮ a_{n, n - 1} + 1 a_{1 n} + 1 a_{2 n} + 1 a_{3 n} + 1 ⋮ a_{nn} + 1 - a_{11} a_{21} a_{31} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} a_{32} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1, n - 1} a_{2, n - 1} a_{3, n - 1} ⋮ a_{n, n - 1} a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} ⋮ a_{nn} .

最后由例 1.32 的结论可得

∣ B ∣ = ∣ A (1) ∣ - ∣ A (0) ∣ = i, j = 1 \sum n A_{ij} .

证法 2

设行列式 $∣ A ∣$ 的列向量依次为 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ ,则

∣ B ∣ = ∣ α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, \dots, α_{n - 1} - α_{n}, 1 ∣,

其中 1 表示元素都是 1 的列向量. 依次将第 $i$ 列加到第 $i - 1$ 列上去 $(i = n - 1, \dots, 2)$ , 可得

∣ B ∣ = ∣ α_{1} - α_{n}, α_{2} - α_{n}, \dots, α_{n - 1} - α_{n}, 1 ∣ .

按第一列进行拆分, 可得

∣ B ∣ = ∣ α_{1}, α_{2} - α_{n}, \dots, α_{n - 1} - α_{n}, 1 ∣ - ∣ α_{n}, α_{2} - α_{n}, \dots, α_{n - 1} - α_{n}, 1 ∣ .

将上式中第二个行列式的第一列依次加到第 $2, 3, \dots, n - 1$ 列上,再将其第一列和第 $n$ 列对换后可得

∣ B ∣ = ∣ α_{1}, α_{2} - α_{n}, \dots, α_{n - 1} - α_{n}, 1 ∣ + ∣ 1, α_{2}, \dots, α_{n - 1}, α_{n} ∣ .

对上式中第一个行列式中间的 $n - 2$ 列进行拆分并实施类似的操作,可得

∣ B ∣ = ∣ 1, α_{2}, \dots, α_{n - 1}, α_{n} ∣ + ∣ α_{1}, 1, \dots, α_{n - 1}, α_{n} ∣ + \dots + ∣ α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n - 1}, 1 ∣ .

将上述行列式依次按照 1 所在的列进行展开即可得到本题的结论.

我们在例 1.45 的证法 1 中, 综合运用了行列式的性质、升阶法、拆分法以及一个已知结论 (例 1.32). 另一方面, 我们也给出了例 1.15、例 1.16、例 1.34、例 1.43 以及例 1.45 等的多种解法或证法. 可见, 要真正地熟练行列式的计算, 并将上述各种方法运用自如, 则需要读者在做题的过程中认真思索、不断总结, 才能融会贯通.

Youliang Zhong

1.2.11 综合运用各种方法

例 1.40

解

例 1.41

解

例 1.42

证明

例 1.43

证法 1

证法 2

例 1.15 的解法 2

例 1.44

解

例 1.34 的解法 2

例 1.45

证法 1

证法 2

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