1.2.3 行列式组合定义的应用

行列式的组合定义通常在理论证明中使用, 如利用它可以证明 Laplace 定理等.

例 1.10

若 $n$ 阶行列式 $\left|\mathbf{A}\right|$ 中零元素的个数超过 $n^2-n$ 个,证明: 这个行列式的值等于零.

证明

由行列式的组合定义可得

$$\left|\mathbf{A}\right|=\sum _{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)\in S_n}{\left(-1\right)}^{N\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)}{a}_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}.$$

由于 $\left|\mathbf{A}\right|$ 中零元素的个数超过 $n^2-n$ 个,故 $a_{k_{1}1},a_{k_{2}2},\cdots ,a_{k_{n}n}$ 中至少有一个为零,从而 $a_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}=0$ ,因此 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ . 如直接利用行列式的性质,也可以这样来证明: 因为 $\left|\mathbf{A}\right|$ 中零元素的个数超过 $n^2-n$ 个,由抽屉原理知 $\left|\mathbf{A}\right|$ 至少有一列其零元素的个数大于等于 $\left[\frac{n^2-n}{n}\right]+1=n$ ,即 $\left|\mathbf{A}\right|$ 至少有一列其元素全为零,因此 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ . $\square$

例 1.9 的证法 2

由行列式的组合定义可得

$$F\left(t\right)=\sum _{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)\in S_n}{\left(-1\right)}^{N\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)}{f}_{k_{1}1}\left(t\right)f_{k_{2}2}\left(t\right)\cdots f_{k_{n}n}\left(t\right).$$

因此

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F\left(t\right)=\sum _{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)\in S_n}{\left(-1\right)}^{N\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)}{f}_{k_{1}1}^{\prime }\left(t\right)f_{k_{2}2}\left(t\right)\cdots f_{k_{n}n}\left(t\right)$$ $$+\sum _{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)\in S_n}{\left(-1\right)}^{N\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)}{f}_{k_{1}1}\left(t\right)f_{k_{2}2}^{\prime }\left(t\right)\cdots f_{k_{n}n}\left(t\right)$$ $$+\cdots +\sum _{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)\in S_n}{\left(-1\right)}^{N\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)}{f}_{k_{1}1}\left(t\right)f_{k_{2}2}\left(t\right)\cdots f_{k_{n}n}^{\prime }\left(t\right)$$ $$=F_1\left(t\right)+F_2\left(t\right)+\cdots +F_n\left(t\right).$$

例 1.11

设

$$f\left(x\right)=\left|\begin{array}{cccc}x-a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& x-a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & x-a_{nn}\end{array}\right|,$$

其中 $x$ 是未知数, $a_{ij}$ 是常数. 证明: $f\left(x\right)$ 是一个最高次项系数为 1 的 $n$ 次多项式,

且其 $n-1$ 次项的系数等于 $-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}\right)$ .

证明

由行列式的组合定义知, $f\left(x\right)$ 的最高次项出现在组合定义展开式中的单项 $\left(x-a_{11}\right)\left(x-a_{22}\right)\cdots \left(x-a_{nn}\right)$ 中,且展开式中的其他单项作为 $x$ 的多项式其次数小于等于 $n-2$ . 因此 $f\left(x\right)$ 是一个最高次项系数为 1 的 $n$ 次多项式,且其 $n-1$ 次项的系数等于 $-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}\right)$ .