1.2.4 提取因子法

在含有文字变量 (单项式或多项式) 的行列式中, 如当某个变量取某个特定值时行列式值为零, 则该行列式必含有某个特定的因子. 这种方法称为提取因子法, 其证明需要用到多元多项式的整性, 有兴趣的读者可以参考论文 [9]. 用提取因子法常常可以巧妙地将行列式的值求出来.

例 1.12

计算:

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{cccc}x& y& z& w\\ y& x& w& z\\ z& w& x& y\\ w& z& y& x\end{array}\right|$$

解

设 $\left|\mathbf{A}\right|=f\left(x\right)$ ,将所有行加到第一行上可以提出因子 $x+y+z+w$ . 第二行乘以 1,第三、第四行乘以 -1 加到第一行上可提出因子 $x+y-z-w$ . 同理可知 $\left|\mathbf{A}\right|$ 有因子 $x+z-y-w,x+w-y-z$ . 又 $\left|\mathbf{A}\right|$ 看成为 $x$ 的函数是四次的,首项系数为 1,故 $\left|\mathbf{A}\right|=\left(x+y+z+w\right)\left(x+y-z-w\right)\left(x+z-y-w\right)\left(x+w-y-z\right)$ . [

注

利用行列式的性质可以给出例 1.12 另一种解法, 请参考 [1] 的例 1.5.10.

例 1.13

计算行列式的值:

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{llll}0& x& y& z\\ x& 0& z& y\\ y& z& 0& x\\ z& y& x& 0\end{array}\right|.$$

解

容易看出例 1.13 是例 1.12 的特殊情形, 故

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left(x+y+z\right)\left(x-y-z\right)\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right).$$

例 1.14

计算行列式:

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1+x& 1& 1& 1\\ 1& 1-x& 1& 1\\ 1& 1& 1+y& 1\\ 1& 1& 1& 1-y\end{array}\right|$$

解

显然当 $x=0$ 或 $y=0$ 时 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ . 因此 $\left|\mathbf{A}\right|$ 含有因子 $xy$ . 若将 $-x$ 代 $x$ ,得到的行列式仍和 $\left|A\right|$ 相等 (只要将第一、第二行对换,再将第一、第二列对换). 可见, $\left|\mathbf{A}\right|$ 含有因子 $x^2$ ,同理 $\left|\mathbf{A}\right|$ 含有因子 $y^2$ . 而 $x^2{y}^2$ 项的系数是 1,因此 $\left|\mathbf{A}\right|=x^2{y}^2$ .

例 1.15

求下列行列式的值:

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{\left(a+b\right)}^2& c^2& c^2\\ a^2& {\left(b+c\right)}^2& a^2\\ b^2& b^2& {\left(c+a\right)}^2\end{array}\right|.$$

解

若 $a=0$ ,则第一、第三两列成比例,故行列式值为零. 于是 $a$ 是 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的因子,同理 $b,c$ 是 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的因子. 又第三列减去第二列,再将第二列减去第一列可提出公因子 ${\left(a+b+c\right)}^2$ . 于是 $\left|\mathbf{A}\right|=abc{\left(a+b+c\right)}^{2}f\left(a,b,c\right)$ ,其中 $f\left(a,b,c\right)$ 是一次齐次多项式,设 $f\left(a,b,c\right)=k_{1}a+k_{2}b+k_{3}c$ . 若将 $a,b,c$ 做置换, $\left|\mathbf{A}\right|$ 的值仍不变,所以 $k_1=k_2=k_3$ . 于是 $\left|\mathbf{A}\right|=kabc{\left(a+b+c\right)}^3$ . 最后取 $a=b=c=1$ 可以决定 $k=2$ , 故 $\left|\mathbf{A}\right|=2abc{\left(a+b+c\right)}^3$ .

例 1.16

计算下列行列式 (称为 Cauchy 行列式):

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{\left(a_1+b_1\right)}^{-1}& {\left(a_1+b_2\right)}^{-1}& \cdots & {\left(a_1+b_n\right)}^{-1}\\ {\left(a_2+b_1\right)}^{-1}& {\left(a_2+b_2\right)}^{-1}& \cdots & {\left(a_2+b_n\right)}^{-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\left(a_n+b_1\right)}^{-1}& {\left(a_n+b_2\right)}^{-1}& \cdots & {\left(a_n+b_n\right)}^{-1}\end{array}\right|.$$

解

将 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的每一行提出公分母,得到

$$\left|\mathbf{A}\right|=\prod _{i,j=1}^n{\left(a_i+b_j\right)}^{-1}\left|\mathbf{B}\right|$$

其中 $\left|\mathbf{B}\right|$ 是一个 $n$ 阶行列式,它的第 $\left(i,j\right)$ 元素为

$$\prod _{k=1}^n\left(a_i+b_k\right)/\left(a_i+b_j\right)$$

现来计算 $\left|\mathbf{B}\right|$ . 若 $a_i=a_j\left(i\ne j\right)$ ,则显然 $\left|\mathbf{B}\right|=0$ (有二行相同). 因此 $\left|\mathbf{B}\right|$ 含有因子 $\left(a_i-a_j\right)$ ,同理 $\left|\mathbf{B}\right|$ 含有因子 $\left(b_i-b_j\right)$ . 又 $a_i$ 在 $\left|\mathbf{B}\right|$ 展开式中的次数为 $n-1,b_i$ 的次数也是 $n-1$ ,因此

$$\left|\mathbf{B}\right|=k\prod _{1\le i<j\le n}\left(a_i-a_j\right)\left(b_i-b_j\right).$$

为决定 $k$ 的值,令 $a_i=-b_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right).\left|\mathbf{B}\right|$ 这时成为对角行列式,注意到 $b_i=-a_i$ ,我们有

$$\left|\mathbf{B}\right|=\prod _{1\le i\ne j\le n}\left(a_i-a_j\right)=\prod _{1\le i<j\le n}\left(a_i-a_j\right)\left(b_i-b_j\right).$$

这表明 $k=1$ . 因此

$$\left|\mathbf{A}\right|=\frac{\prod _{1\le i<j\le n}\left(a_i-a_j\right)\left(b_i-b_j\right)}{\prod _{i,j=1}^n\left(a_i+b_j\right)}.\square$$