若一个行列式各行 (或列) 和相等, 则可以将这些行 (列) 加起来, 提取因子后往往可以计算出行列式的值来. 这种方法简称为求和法.

例 1.17

设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是方程 $x^{3} + p x + q = 0$ 的 3 个根,求下列行列式的值:

∣ A ∣ = x_{1} x_{2} x_{3} x_{2} x_{3} x_{1} x_{3} x_{1} x_{2}

解

由 Vieta 定理可得 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ ,将后两列都加到第一列上去,第一列变为零. 因此 $∣ A ∣ = 0$ .

例 1.18

计算 $n$ 阶行列式:

∣ A ∣ = 01 ⋮ 11 10 ⋮ 11 \dots \dots \dots \dots 11 ⋮ 01 11 ⋮ 10

解

从第二列起将每一列加到第一列上并提出公因子 $(n - 1)$ ,得到

∣ A ∣ = (n - 1) 11 ⋮ 11 10 ⋮ 11 \dots \dots \dots \dots 11 ⋮ 01 11 ⋮ 10

再将第一行乘以 -1 依次加到后面各行得到

∣ A ∣ = (n - 1) 10 ⋮ 00 1 - 1 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 10 ⋮ - 1 0 10 ⋮ 0 - 1 = (- 1)^{n - 1} (n - 1) .

例 1.19

计算下列行列式的值:

∣ A ∣ = a_{1} + b a_{1} a_{1} ⋮ a_{1} a_{2} a_{2} + b a_{2} ⋮ a_{2} a_{3} a_{3} a_{3} + b ⋮ a_{3} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n} a_{n} ⋮ a_{n} + b .

解

从第二列起将各列依次加到第一列上并提取公因子 $b + i = 1 \sum n a_{i}$ ,得到

∣ A ∣ = (b + i = 1 \sum n a_{i}) 111 ⋮ 1 a_{2} a_{2} + b a_{2} ⋮ a_{2} a_{3} a_{3} a_{3} + b ⋮ a_{3} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n} a_{n} ⋮ a_{n} + b,

再将第一行乘以 -1 依次加到后面每一行, 得到

∣ A ∣ = (b + i = 1 \sum n a_{i}) b^{n - 1} .

例 1.20

设 $b_{ij} = (a_{i 1} + a_{i 2} + \dots + a_{in}) - a_{ij}$ ,求证:

b_{11} ⋮ b_{n 1} \dots \dots b_{1 n} ⋮ b_{nn} = (- 1)^{n - 1} (n - 1) a_{11} ⋮ a_{n 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{nn} .

证明

从第二列开始将每列加到第一列上,第一列变成 $(n - 1) (a_{i 1} + a_{i 2} + \dots +$ $a_{in}) (i = 1, \dots, n)$ . 把 $n - 1$ 提出,将第一列乘以 -1 加到后面每一列上,再将后面 $n - 1$ 列都加到第一列上,最后将后面 $n - 1$ 列的 -1 提出即得结论.

例 1.21

计算 $n$ 阶行列式:

∣ A ∣ = 123 ⋮ n - 1 n 234 ⋮ n 1 345 ⋮ 12 \dots \dots \dots \dots \dots n - 1 n 1 ⋮ n - 3 n - 2 n 12 ⋮ n - 2 n - 1

解

将所有行加到第一行提出公因子 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ ,再消去第一行化为 $n - 1$ 阶行列式:

∣ A ∣ = \frac{1}{2} n (n + 1) 123 ⋮ n - 1 n 134 ⋮ n 1 145 ⋮ 12 \dots \dots \dots \dots \dots 1 n 1 ⋮ n - 3 n - 2 112 ⋮ n - 2 n - 1

= \frac{1}{2} n (n + 1) 123 ⋮ n - 1 n 011 ⋮ 1 1 - n 022 ⋮ 2 - n 2 - n \dots \dots \dots \dots \dots 0 n - 2 - 2 ⋮ - 2 - 2 0 - 1 - 1 ⋮ - 1 - 1

= \frac{1}{2} n (n + 1) 11 ⋮ 1 1 - n 22 ⋮ 2 - n 2 - n \dots \dots \dots \dots n - 2 - 2 ⋮ - 2 - 2 - 1 - 1 ⋮ - 1 - 1 .

最后将得到的行列式最后一行乘以 -1 依次加到前面 $n - 2$ 行上去,得到

n n ⋮ n 1 - n n n ⋮ 0 2 - n \dots \dots \dots \dots n 0 ⋮ 0 - 2 00 ⋮ 0 - 1 = (- 1)^{\frac{1}{2} n (n - 1)} n^{n - 2} .

由此得到

∣ A ∣ = (- 1)^{\frac{1}{2} n (n - 1)} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot n^{n - 1} .

Youliang Zhong

1.2.5 各行 (列) 元素和相等的行列式

例 1.17

解

例 1.18

解

例 1.19

解

例 1.20

证明

例 1.21

解

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